5.3.2利用导数研究函数极值(2)课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高中数学 高二年级 5.3.2利用导数研究函数极值(2) 一、复习引入 通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？ 二、导入新课 回答以下问题： 三、共探新知 〖探究一〗极值的定义 0 x y 0 x y 极大值 极小值 四、形成概念 如果对x0附近的所有点x，都有f(x)<f(x0), 则称函数f(x)在点x0处取极大值， 记作y极大值= f(x0)；并把x0称为函数f(x)的一个极大植点。 如果对x0附近的所有点x，都有f(x)>f(x0), 则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小值= f(x0)；并把x0称为函数f(x)的一个极小植点。 已知函数y=f(x)，设x0是定义域（a,b）内任一点， a b b a ◆函数的极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点. 观察函数y=f(x)在定义域[a,b]上的图象，回答以下问题： （1）找出图中的极点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？ （2）极大值一定大于极小值吗？ （3）极值点能在区间端点取吗？ y a b x1 x2 x3 x4 O x 大 大 小 小 五、深化概念 答案： （1）如图； （2）不一定； （3）不能. 【几点说明】 (1) 极值是一个局部概念； (3) 极值点是自变量的值，极值指的是函数值; (4) 函数的极值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值; (5) 函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点； (2) 极值不一定是最值； 五、深化概念 0 x y 3 -3 0 x y 0 x y 问题2：函数y=f(x)在极值点的导数值为多少? 在x=0处不可导 结论：设x=x0是y=f(x)的极值点，且f(x)在x=x0是可导的，则必有f (x0)=0. 问题3：导数为0的点是函数的极值点吗? 结论：导数为0的点不一定是极值点. 可导函数f(x)在x0处导数为0是该点为极值点的 条件. 必要非充分 y x O x1 x2 a b y=f(x) 在极大值点附近 在极小值点附近 f (x)<0 f (x)>0 f (x)>0 f (x)<0 (1)如果f  (x0)=0,且在x0附近的左侧 f  (x)>0，右侧f  (x)<0, 那么f(x0)是极大值 (2)如果f  (x0)=0,且在x0附近的左侧 f  (x)<0，右侧f  (x)>0, 那么f(x0)是极小值 f (x2)=0 f (x1)=0 可导函数f(x)在x0处导数为0是该点为极值点的充要条件为： 六、范例解析 x -2 2 f′(x) 0 0 f(x) 解：定义域为R，f′(x)=x2-4 由f′(x)=0可得x=-2或 x=2 当x变化时，f′(x), f(x)的变化情况如下表： （-∞，-2） (-2，2） (2，+∞） + － + 极大值 极小值 因此，当x=-2时， y极大值= ; 当x=2时， y极小值= 【求函数极值的步骤】 (1)确定函数定义域，求导数f′(x)； (2)求方程 的所有实数根； (3)判断在每个根的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化． ①如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极 值． ②如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极 值． ③如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右两侧符号不变，则f(x0) . f ′ (x)=0 大 小 不是极值 定义域 练习 七、课堂小结 1.函数极值的概念 2.函数极值的求法 3.易错点有二：（1）定义域； （2）充分性的验证. 谢谢观看 16 解：函数f(x)＝eq \f(3,x)＋3ln x的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－eq \f(3,x2)＋eq \f(3,x)＝eq \f(3x－1,x2)，令f′(x)＝0得x＝1. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表： x (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) ↘ 3 ↗ 因此当x＝1时，f(x)有极小值，并且极小值为f(1)＝3, 无极大值. $$