8.6.2直线与平面垂直（第2课时） 直线与平面垂直的性质（教学设计）--【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

8.6.2 直线与平面垂直（第2课时） 直线与平面垂直的性质 教学设计 1、 课时教学内容 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要直线与平面垂直的性质及其应用，直线到平面的距离、两平行平面间的距离。 课本从长方体的侧棱垂直与底面，考虑侧棱之间的关系入手，通过用反证法证明垂直与一个平面的两直线平行，引入直线与平面垂直的性质定理，通过例题引入直线到平面的距离的定义以及两平行平面之间的距离定义。直线与平面垂直的性质定理是判断两直线平行的一种方法。 2、 课时教学目标 1.掌握直线和平面垂直的性质定理。 2.了解直线到平面的距离和两个平行平面之间距离定义。 3.会用直线和平面垂直的性质定理解决情景问题。 3、 教学重点、难点 1.教学重点：掌握直线和平面垂直的性质定理。 2.教学难点：会用直线和平面垂直的性质定理解决情景问题。 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 1.直线和平面垂直的定义 【答案】如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直线都垂直,则称这条直线和这个平面垂直.其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足. 2.直线与平面垂直的判定定理 【答案】一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 环节二 观察分析，感知概念 下面我们研究直线与平面垂直的性质，即探究在直线与平面垂直的条件下能推出哪些结论． 根据已有经验，我们可以探究直线与平面内的直线的关系．但由定义，与内的所有直线都垂直．所以，可以探究， 与其他直线或平面的关系． 我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，在空间中是否有类似的性质呢? 环节三 抽象概括，形成概念 观察 （1）如图8.6-16，在长方体中，棱，，，所在直线都垂直于平面，它们之间具有什么位置关系？ （2）如图8.6-17，已知直线，和平面．如果，，那么直线，一定平行吗？ 可以发现，这些直线相互平行．不失一般性，我们以（2）为例加以证明．如图8.6-18，假设b与不平行，且．显然点不在直线上，所以点与直线可确定一个平面，在该平面内过点作直线，则直线与是相交于点的两条不同直线，所以直线与可确定平面，设，则．因为，，所以，．又因为，所以．这样在平面内，经过直线上同一点就有两条直线， 与垂直，显然不可能．因此． 由于无法把两条直线归入到一个平面内，所以在定理的证明中，无法应用平行直线的判定知识，也无法应用基本事实4．在这种情况下我们采用了“反证法”． 环节四 辨析理解，深化概念 这样，我们得到了直线与平面垂直的一条性质定理： 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行． 直线与平面垂直的性质定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直判定这两条直线互相平行．直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系． 在的条件下，如果平面外的直线与直线垂直，你能得到什么结论？如果平面与平面平行，你又能得到什么结论？ 你还能自己提出更多的问题，发现更多的结论吗? 例5 如图8.6-19，直线平行于平面，求证：直线上各点到平面的距离相等． 证明：过直线上任意两点，分别作平面的垂线，，垂足分别为，． ，，， 设直线，确定的平面为，，，． 四边形为矩形．． 由，是直线上任取的两点，可知直线上各点到平面的距离相等． 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．由例5我们还可以进一步得出，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 环节五 概念应用，巩固内化 例6 推导棱台的体积公式 ， 其中，分别是棱台的上、下底面面积，是高． 解：如图8.6-20，延长棱台各侧棱交于点，得到截得棱台的棱锥．过点作棱台的下底面的垂线，分别与棱台的上、下底面交于点，，则垂直于棱台的上底面(想一想，为什么?)，从而． 设截得棱台的棱锥的体积为，去掉的棱锥的体积为、高为，则．于是 ，． 所以棱台的体积 ． ① 由棱台的上、下底面平行，可以证明棱台的上、下底面相似①，并且 ，①请你自己证明这个结论 所以 代入①，得． 【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。 环节六 归纳总结，反思提升 1、直线和平面垂直的性质定理； 2、一种证明直线和直线平行的方法: 欲证线线平行，考虑证这两线与某一平面垂直。