专题突破 累加法累积法求通项公式讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

用累加法累积法求通项公式 求数列的通项公式多以小题的形式出现，但也可作为解答题，主要考查利用累加法、累乘法、公式法等求数列的通项公式，利用通项公式求数列中的项、公差、公比等，试题较灵活. 考点一 累加法求通项公式 例题1已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【详解】若，则，则， 这与矛盾，所以， 对同时除以， 所以，则，， ……，， 上面的式子相加可得： ， 所以，所以， 故选：D. 例题2 数列满足，，. (1)求，； (2)证明：数列是等差数列； (3)若，求数列的前n项和. 【分析】（1）令，，结合递推关系即可求解； （2）利用等差数列的定义证明即可； （3）先用累加法求出，然后用裂项相消法求出. 【详解】（1）令，得； 令，得. （2）， 所以是以为首项，2为公差的等差数列. （3）由（2）得， 所以 ， 所以， 所以. 【变式训练】 1．数列的首项为8，为等差数列，且，若，，则等于（    ） A．0 B．3 C．8 D．11 2．已知数列满足，且，数列满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”：“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球…设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．， D． 4．已知数列中，，则 . 5．数列满足，且，则数列的通项公式 ． 6．在数列中，，，则的值为 . 7．在数列中，，当且时，，求数列的通项公式． 8．在数列中，，且数列是等差数列. (1)求的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求. 考点二 累积法求通项公式 例题3 已知数列满足，则下列结论成立的有（    ） A．数列为等差数列 B．数列为递增数列 C． D．数列的前项和为 【详解】因为，所以， 求得，即，所以为首项为1，公差为1的等差数列，故选项A正确，选项C正确． 对于B选项，因为，所以数列为递减数列，选项B错误． 对于选项，因为， 所以数列的前项和为： ，选项D正确． 故选：ACD． 【变式训练】 1．已知数列的项满足，而，则＝（    ） A． B． C． D． 2．数列中，，（为正整数），则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知 ， 则 （    ） A．506 B．1011 C．2022 D．4044 4．已知数列满足，，的前项和为，则（　　） A． B． C． D． 5．数列中，若，，则 . 6．已知正项数列满足，则 . 7．若，则通项公式 . 8．已知数列的前项和为，，，． (1)写出数列的前4项； (2)求出数列的通项公式． 9．已知，若. (1)求数列通项公式； (2)设，求数列的前项和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，得到，得到，结合累加法，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，可得，可得，可得， 又因为，即， 所以. 故选：C. 2．B 【分析】由等差数列定义求出，由累加法求出，由对勾函数单调性结合即可求解. 【详解】由题意数列满足，且， 所以数列是等差数列，且， 所以， 当时，， 又， 所以， 所以，而，所以当或时，取最小值， 当时，，当时，， 综上所述，的最小值为5. 故选：B. 3．BCD 【分析】根据题意，归纳可得，由此求出数列的通项公式，据此分析选项，即可得答案. 【详解】根据题意，， 则有， 当时， ， 也满足，所以. ，A选项错误； ，B选项正确； ，， C选项正确； ， ，D选项正确. 故选：BCD 4． 【分析】利用累加法计算出数列的通项公式，等式右边求和为裂项相消. 【详解】由题意可知：，，，， 将上述个式子相加可得：，则，所以 故答案为： 5． 【分析】累加法求数列通项公式. 【详解】 ，该通式对也适用， 所以答案为：. 6．1 【分析】根据题意利用累加法运算求解. 【详解】因为，可知， 可得，，，， 各式相加可得，即，所以. 故答案为：1. 7． 【分析】根据累加法求出通项公式. 【详解】当时，， ，，，…，， ，又， ．又符合上式， ． 8．(1)； (2)220. 【分析】（1）利用等差数列的基本量，求得，再利用累积法即可求得； （2）当为偶数时，利用并项求和法求得，再求即可. 【详解】（1）因为，所以. 所以数列是首项为4，公差为2的等差数列， 所以. 当时， ， 当时，也满足上式，所以. （2）由（1）知，. 当时， . 1．B 【分析】由，可得，然后利