专题突破 递推关系和构造法求通项公式讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

递推关系式和构造法求通项公式 求数列的通项公式多以小题的形式出现，但也可作为解答题，主要考查利用累加法、累乘法、公式法、构造法和递推关系式等求数列的通项公式，利用通项公式求数列中的项、公差、公比等，试题较灵活. 一、考点一 利用an与Sn的关系求通项公式 例题1．已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用求解即得. （2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即可推理得解. 【详解】（1），， 当时，， 两式相减得，即，而满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，，则， 所以. 【变式训练】 1．已知数列的前项和为，若，则（    ） A．0 B．1 C．3 D． 2．设为数列的前项和，且，则（    ） A． B．2021 C． D．0 3．已知数列的前n项和为，若，且（），则（    ） A．为等比数列 B．为等差数列 C．为等比数列 D．为等差数列 4．已知数列各项均为负数，其前项和满足，则（　　） A．数列的第项小于 B．数列不可能是等比数列 C．数列为递增数列 D．数列中存在大于的项 5．已知数列的前项和为，若，则以下说法正确的是（    ） A．数列是单调递增数列 B．当最大时，的值取5或6 C．数列是等差数列 D．当时，的最大值为10 6．已知数列的前项和为，若，则 ． 7．已知数列的前项和为，满足，则 ． 8．数列的首项，且，则数列的通项公式为 ． 9．记为数列的前项和.若，则 . 10．已知数列满足．求的值； 11．已知数列的前项和为，且． (1)求 的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 12．设为数列的前n项和，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 参考答案： 1．C 【分析】利用与的关系直接求解. 【详解】因为，所以， 故选:C. 2．C 【分析】根据数列递推式求出，再利用的关系推出，结合并项求和法，即可得答案. 【详解】由题意知，故，即， 当时，，和相减， 得，即， 故， 故选：C 3．A 【分析】利用求出的通项公式并求和，然后逐一判断选项即可. 【详解】由得当时，， 两式相减得，即， 又当时，， 所以数列即不是等比数列也不是等差数列，CD错误； 所以， 当时， 所以当时，，符合， 所以， 又时，所以为等比数列，A正确，B错误. 故选：A. 4．BCD 【分析】根据题意，由数列前项和与通项的关系求出和的值，可判断选项A，利用反证法判断选项B和D，分析的符号，即可判断选项C. 【详解】由题知，因为， 所以当时，，可得， 当时，，可得， 又，且， 所以，A错误； 对于B，假设数列是等比数列，设其公比为， 由于，即， 变形可得， 必有，与等比数列定义矛盾，B正确； 对于C，当时，可得， 必有即，则是递增数列，C正确； 对于D，假设数列中不存在大于的项， 即对于，有， 则， 所以有， 变形得， 与假设矛盾，故D正确. 故选：BCD 5．BC 【分析】对于AC，求得表达式即可判断；对于B，由二次函数对称轴即可判断；对于D，令，解不等式即可判断. 【详解】由题意，当时，， 两式相减得， 显然， 所以是递减数列，故A错误； 因为开口向下的二次函数的对称轴为， 所以当最大时，的值取5或6，故B正确； 对于C，是等差数列，故C正确； 对于D，令，解得，即的最大值为11，故D错误. 故选：BC. 6．1013 【分析】首先得数列是等比数列，然后得表达式，由此代入即可得解. 【详解】由题意，所以， 当时，，即， 即数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以，， 所以. 故答案为：1013. 7． 【分析】根据题意结合与之间的关系整理可得，进而结合等比数列的定义与通项公式分析求解. 【详解】因为，则， 整理得，且， 可知数列是以首项为3，公比为2的等比数列， 可得，所以. 故答案为：. 8． 【解析】等式两边加1，构造，构造数列是公比为3的等比数列，求通项公式. 【详解】 ， 数列是首项为，公比为3的等比数列， . 故答案为：. 【点睛】本题考查由递推公式求通项公式，重点考查构造等比数列，属于基础题型. 9．63 【解析】当时,则,可得,即是等比数列,进而求解即可 【详解】当时,,即,所以, 当时,,则,所以, 则是首项为2,公比为2的等比数列,所以,则, 当时,, 故答案为：63 【点睛】本题考查由与的关系求,考查等比数列的通项公式的应用 10．， 【分析】根据题意，数列的前n项和，由项与和的关系运算得解. 【详解】由题意可知：数列的前n项和， 当时，可得，所以； 当时，可得 ， 所以； 又因为也符合， 所以，． 11．