8.6.2 直线与平面垂直(第1课时）直线与平面垂直的判定（教学设计）--【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

8.6.2 直线与平面垂直(第1课时） 直线与平面垂直的判定 教学设计 1、 课时教学内容 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习直线与平面垂直的判定定理及其应用。 线面垂直是空间中线线垂直位置关系的拓展，又是面面垂直的基础，是空间中垂直关系转化的关键。同时，它又是学习直线和平面所成的角、平面与平面的距离等后续知识的基础。因此，这部分内容在教材中起着承上启下的作用。本节课的学习，可以培养学生提出猜想、验证猜想、作出数学发现的意识，增强“平面化”和“降维”的转化思想，以及发展空间想象能力。 2、 课时教学目标 1.理解直线与平面垂直的意义，理解点到平面的距离、直线与平面成角的概念； 2.探索直线与平面垂直的判定定理，能应用判定定理证明直线和平面垂直的简单问题，能求简单的直线与平面所成的角； 3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力、感悟和体验“空间问题转化为平面问题”“线面垂直转化为线线垂直”，进一步感悟数学中以“化繁为简”的转化思想. 3、 教学重点、难点 重点：1.对直线与平面垂直的定义和判定定理的理解 难点：1.概括线面垂直的定义和判定定理时如何将“线面垂直”转化为“线线垂直” 2.求直线和平面所成角时，直线的射影的寻找学生初接触会有点难度. 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 问题1：在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识．比如，旗杆与地面的位置关系（图8.6-7），教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，还有书脊与桌面的垂直关系，都给我们以直线与平面垂直的形象．那么什么叫做直线与平面垂直呢？ 【设计意图】列举生活中的例子，使学生对直线与平面垂直的概念获得一定的感性认识，化抽象为具体.然后再应到学生概括出定义. 问题2：能否把直观的形象数学化？用确切的数学语言刻画直线与平面垂直 观察 思考：如图8.6-8，在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子．随着时间的变化，影子的位置在不断变化，旗杆所在直线与其影子所在直线是否保持垂直？ 事实上，随着时间的变化，尽管影子BC的位置在不断地变化，但是旗杆AB所在直线始终与影子BC所在直线垂直．也就是说，旗杆AB所在直线与地面上任意一条过点B的直线垂直．对于地面上不过点B的任意一条直线， 总能在地面上找到过点B的一条直线与之平行，根据异面直线垂直的定义，可知旗杆AB所在直线与直线也垂直，因此，旗杆AB所在直线与地面上任意一条直线都垂直． 【设计意图】这里是对直线垂直于平面定义的形成过程，结合几何直观感知，就能够在问题的引导下获得思路，利用转化的思想归纳出线面垂直的定义，并让学生体会到定义的本质是直线与直线垂直；强调直线要与平面内的任意直线都垂直，不等于无数.并规范表达，感受数学思维的严密. 环节二 观察分析，感知概念 一般地，如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作． 直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足． 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图8.6-9所示． 环节三 抽象概括，形成概念 思考 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？ 可以发现，过一点作垂直于已知平面的直线有且只有一条． 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离． 在棱锥的体积公式中，棱锥的高就是棱锥的顶点到底面的距离． 【活动预设】教师提出问题，师生共同探讨，直观感知和操作确认“过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条”，进而提出点到平面的距离的概念，为求棱锥体积做铺垫. 【设计意图】类比平面几何有关性质，结合直线与平面垂直的定义，给出空间类似的性质；呼应前面棱锥的高的概念. 下面我们来研究直线与平面垂直的判定，即探究直线与平面垂直的充分条件． 根据定义可以进行判断，但无法验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直．那么，有没有可行的方法？ 探究 如图8. 6-10，准备一块三角形的纸片，过的顶点翻折纸片，得到折痕，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（，与桌面接触）． （1）折痕与桌面垂直嘛？ （2）如何翻折才能使折痕与桌面垂直？为什么？ 容易发现，AD所在直线与桌面所在平面垂直(图8．6-11)的充要条件是折痕AD是BC边上的高．这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面内的两条相交直线BD， DC都垂直． 事实上，由基本事实的推论2，平面可以看成是由两条相交直线，所唯一确定的，所以当直线垂直于这两条相交直线时，就能保证直线与内所有直线都垂