8.6.1直线与直线垂直（导学案）-【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

8.6.1直线与直线垂直 导学案 学习目标 1. 理解两异面直线所成角的定义，会求两异面直线所成的角； 2. 掌握证明两条异面直线垂直的方法. 3. 使学生感受空间几何存在于身边，提高学生观察能力，提升数学空间想象能力。 重点难点 1. 重点：求两异面直线所成角. 2. 难点：求两异面直线所成角. 课前预习 自主梳理 知识点一 异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围：设θ为异面直线a与b所成的角，则θ的取值范围是 ． 知识点二 异面直线互相垂直 (1)定义：如果两条异面直线所成的角是 ，那么我们就说这两条异面直线互相垂直． (2)记法：直线a与直线b垂直，记作 . 自主检测 1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)异面直线所成的角的大小与点O的位置有关，即点O位置不同时，这一角的大小也不同．(　　) (2)异面直线a，b所成角的范围为[0°，90°].(　　) (3)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直．(　　) 2.（2022·高一课时练习）给出下列命题，其中正确的命题为 A．若直线和共面，直线和共面，则和共面； B．直线与平面不垂直，则与平面内的所有直线都不垂直； C．直线与平面不平行，则与平面内的所有直线都不平行； D．异面直线，不垂直，则过的任何平面与都不垂直. 3.(2020下·高一课时练习）在正方体各个面的对角线中与所成的角为的有（     ） A．5条 B．6条 C．8条 D．10条 4.（2020下·高一课时练习）下列三个说法： ①若直线相交，相交，则相交； ②若，则与c所成的角相等； ③若，，则. 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 5.（2020下·高一课时练习）如图是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，给出下列四个结论： ①与所在直线垂直；                ②与所在直线平行； ③与所在直线成60°角；            ④与所在直线异面. 其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 新课导学 学习探究 环节一 创设情境，引入课题 空间中两条直线的位置关系有三种：平行直线、相交直线、异面直线。初中已经研究了平行直线和相交直线，本节主要研究异面直线。 如图所示，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线A'C'与直线AB，直线A'D'与直线AB都是异面直线，直线A'C'与直线A'D'相对于直线AB的位置相同么？如果不同，如何表示这种差异呢? 空间两条直线的位置关系有三种：平行直线、相交直线和异面直线．在初中我们已经研究了平行直线和相交直线．本节我们主要研究异面直线，首先研究如何刻画两条异面直线的位置关系． 环节二 观察分析，感知概念 探究 如图8.6-1，在正方体中，直线与直线，直线与直线都是异面直线，直线与相对于直线的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？ 我们知道，平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于的角称为这两条直线所成的角（或夹角），他刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜程度．类似的，我们也可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系． 研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线．这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题． 环节三 抽象概括，形成概念 如图8.6-2，已知两条异面直线，，经过空间任意一点分别作直线，，我们把直线与所成的角叫做异面直线与所成的角（或夹角）． 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线与直线垂直，记作． 思考：直线，所成的角的大小与点的位置有关吗？ 当两条直线，互相平行时，我们规定它们所成的角为．所以空间两条直线所成角的取值范围是． 环节四 辨析理解，深化概念 例1 如图8.6-3，已知正方体． （1）哪些棱所在的直线与直线垂直？ （2）求直线与所成的角的大小． （3）求直线与所成的角的大小． 环节五 概念应用，巩固内化 例2 如图8.6-5（1），在正方体中，为底面的中心．求证． 环节六 归纳总结，反思提升 异面直线所成角的求法：一作(找)、二证、三求 (1)作：根据异面直线的定义，用平移法（常利用三角形中位线、平行四边形的性质）作出异面直线所成角。 (2)证：证明作出的角就是要求的角 (3)求：求角度 (4)若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成角。 环节七 目标检测，作业布置 完成