8.6.1直线与直线垂直（教学设计）--【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

8.6.1 直线与直线垂直 教学设计 1、 课时教学内容 直线与直线垂直是所有垂直关系的基础，在初中已经学过矩形，直角三角形等垂直关系，本节教材重点介绍了异面直线所成角，对平面中直线与直线的垂直关系进一步深化.也为后续线面垂直、面面垂直打下基础. 2、 课时教学目标 1. 理解两异面直线所成角的定义，会求两异面直线所成的角； 2. 掌握证明两条异面直线垂直的方法. 3. 使学生感受空间几何存在于身边，提高学生观察能力，提升数学空间想象能力。 3、 教学重点、难点 1. 重点：异面直线所成的角，两条异面直线垂直的定义. 2. 难点：求异面直线所成的角. 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 空间中两条直线的位置关系有三种：平行直线、相交直线、异面直线。初中已经研究了平行直线和相交直线，本节主要研究异面直线。 如图所示，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线A'C'与直线AB，直线A'D'与直线AB都是异面直线，直线A'C'与直线A'D'相对于直线AB的位置相同么？如果不同，如何表示这种差异呢? 【设计意图】理论是源于实际生活的，通过正方体直观感受异面直线的位置。 空间两条直线的位置关系有三种：平行直线、相交直线和异面直线．在初中我们已经研究了平行直线和相交直线．本节我们主要研究异面直线，首先研究如何刻画两条异面直线的位置关系． 环节二 观察分析，感知概念 探究 如图8.6-1，在正方体中，直线与直线，直线与直线都是异面直线，直线与相对于直线的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？ 我们知道，平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于的角称为这两条直线所成的角（或夹角），他刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜程度．类似的，我们也可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系． 研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线．这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题． 【设计意图】理论是源于实际生活的，通过正方体直观感受异面直线的位置。 环节三 抽象概括，形成概念 如图8.6-2，已知两条异面直线，，经过空间任意一点分别作直线，，我们把直线与所成的角叫做异面直线与所成的角（或夹角）． 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线与直线垂直，记作． 思考：直线，所成的角的大小与点的位置有关吗？ 当两条直线，互相平行时，我们规定它们所成的角为．所以空间两条直线所成角的取值范围是． 【设计意图】引入新概念，通过异面直线的夹角来确定异面直线的位置。1. 1. 1. 1. 1. 环节四 辨析理解，深化概念 例1 如图8.6-3，已知正方体． （1）哪些棱所在的直线与直线垂直？ （2）求直线与所成的角的大小． （3）求直线与所成的角的大小． 解：（1）棱所在直线分别与直线垂直； （2）因为是正方体，所以，因此为直线与所成的角，又因为，所以直线与所成的角等于； （3）如图8.6-4，连接，因为是正方体，所以，从而四边形是平行四边形，所以，于是为异面直线与所成的角；连接，已知是等边三角形，所以，从而异面直线与所成的角等于． 环节五 概念应用，巩固内化 例2 如图8.6-5（1），在正方体中，为底面的中心．求证． 分析：要证明，应先构造直线与所成的角，若能证明这个角是直角，即得 证明：如图8.6-5（2），连接．是正方体，． 四边形是平行四边形．． 直线与所成的角即为直线与所成的角．连接，，易证． 又为底面的中心，为的中点，．． 从例1与例2的解答可以看到，为了简便，求异面直线，所成的角时，点常取在两条异面直线中的一条上．例如取在直线上，然后经过点作直线，那么与所成角的角就是异面直线与所成的角（图8.6-6）． 【设计意图】在形成异面直线的主管感受后，遵循从特殊到一般的思路，在实践活动中进行再认识，提升难度，设计思维梯度，指导学生学会如何判定较为复杂的两条直线异面垂直。 环节六 归纳总结，反思提升 异面直线所成角的求法：一作(找)、二证、三求 (1)作：根据异面直线的定义，用平移法（常利用三角形中位线、平行四边形的性质）作出异面直线所成角。 (2)证：证明作出的角就是要求的角 (3)求：求角度 (4)若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成角。 【设计意图】 （1）梳理本节课对于异面直线所成角的求法的认知； （2）进行数学核心素养的渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会学习对数的必要性 . 环节七 目标检测，作业布置 完成教材：第148页 练习 第 2,3题 练习（第148页） 1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”． （1）如果两条平行线直线中的一条与已知