平面向量专题之极化恒等式-2023-2024学年高一数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019必修第二册）

平面向量专题之极化恒等式 1 极化恒等式 （1）平行四边形模式：在平行四边形中，， 即向量的数量积等于对应平行四边形的对角线的平方差的. (2)三角形模式：， 即向量的数量积等于中线长与半底边长的平方差. 证明: 不妨设，则， (1) (2) (1)- (2)得 ， 即: ， 又因为，所以. 2 极化恒等式的作用 极化恒等式把数量积转化为平面几何的线段长度问题.它可解决求数量积的值、数量积的取值范围、探求数量积的最值、处理长度问题等. 【题型1】 求数量积 【典题1】 如图，在中，的中点，上的两个三等分点，，则 值为 . 【巩固练习】 1.(★) 在直角梯形 中，已知 4. 若的中点，则的值为( ) A. -5 B. -4 C. 4 D. 5 2.(★★) 在矩形中，与相文于O，过点作，则 ( ) A. B. C. D. 3.( ★★)如图在平行四边形 中，已知，则的值是 . 4.(★★★)如图，已知点的重心，，则的值为 . 【题型2】 求数量积的取值范围 【典题1】 半经为2的圆上有三点， 满足 ，点是圆内一点，则的取值范围是 . 【典题2】 在锐角中，已知 ，，则的取值范围是 . 【典题3】设为的重心，若，则的取值范围为 . 【巩固练习】 1.(★★) 如图，Rt 中，点是线段 一动点，若以为圆心半经为1的圆与线段 交于 两点，则的最小值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.(★★)在Rt 中， 是斜边上的两个动点，且，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 3.( ★★)在中，已知，则的最大值为 . 4.(★★★)如图，已知是边长为的正三角形， 的外接圆的一条直径， 的边上的动点，则的最大值为 . 5.(★★)设正方形的边长为4，动点 在以为直径的圆弧 上， 如图所示， 则的的取值范围为 . 6.(★★★)在中， ，若点分别在直角坐标系的两坐标轴上运动时， 的最大值是 . 7.(★★★)如图，在平面四边形 中，，则的最大值为 . 8.( ★★★)已知点为坐标原点， 为圆的内接正三角形， 则的最小值为 . 9.(★★★)如图，在平面四边形中，，若点为边上的动点，则的最小值为 . 10.(★★★★)如图，圆的内切圆，已知 ，过圆心 的直线 交圆 两点，则的取值范围是 . 【题型3】 综合应用 【典题1】 在中，若，则 面积的最大值为 . 【巩固练习】 1.(★★) 设是边上的一定点，满足 ，且对于边上任一点，恒有 ，则( ) A. B. C. D. 2.(★★★)在平行四边形 中，的中点. 若，则的长为 . 3.(★★★) 已知单位向量 ，且 ，若向量 满足 ，则的取值范围为 A. B. C. D. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平面向量专题之极化恒等式 1 极化恒等式 （1）平行四边形模式：在平行四边形中，， 即向量的数量积等于对应平行四边形的对角线的平方差的. (2)三角形模式：， 即向量的数量积等于中线长与半底边长的平方差. 证明: 不妨设，则， (1) (2) (1)- (2)得 ， 即: ， 又因为，所以. 2 极化恒等式的作用 极化恒等式把数量积转化为平面几何的线段长度问题.它可解决求数量积的值、数量积的取值范围、探求数量积的最值、处理长度问题等. 【题型1】 求数量积 【典题1】 如图，在中，的中点，