平面向量专题之等和线2023-2024学年高一数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019必修第二册）

平面向量专题之等和线 1 平面向量三点共线定理 在讲等和线之前，我们先来看看平面向量三点共线定理: 如图，是平面内三个点，是平面内任意一点，若点在直线上，则存在实数，使得； 反过来，若，则 三点共线. 证明 向量与向量 共线，(很容易想到向量共线定理) 令， 则有. 其逆命题同理易证. 2 等和线 （1）等和线 设点是平面内任意一点，且， 由平面向量三点共线定理可知，当点落在直线时，； 那当点落在直线外呢？ 比如，点落在点，则，那的值有何变化？ 如下图直线和平行，则有， 设， 根据三点共线原理有:， 又，， 所以若有，点落在对于上的任意一点，它们对于基底 的系数和，其中 为三角形的相似比. 则直线可称之为的等和线，直线称之为的等和线. （2）等和线解题方法图解 若，则有； 若，则有； 若，则有； （3） 性质 (1)当等和线恰为直线时，； (2)当等和线在点和直线之间时，； (3)当等和线在点相对于直线的异侧时，； (4)当等和线过点时，； (5)若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； (6) 定值的变化与等和线到点的距离成正比. 【题型1】 等和线的理解 【典题1】 如图，分别是射线上的点，给出下列以为起点的向量: (1) ； (2) ； (3) ； (4) (5) . 其中终点落在阴影区域(不包括边界)内的向量的序号是 . (写出满足条件的所有向量的序号). 【巩固练习】 1.(★) 设向量 不共线( 为坐标原点)，若，且，则点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( ) A. B. C. D. C 2.(★★)在中，是边上的动点且，则当 取得最大值时，的值为 . 3.(★★)如图所示，，点在由射线 、射线段 及 的延长线围成的阴影区域内 (不含边界) 运动，且 则的取值范围是 ，当 时，的取值范围是 . 4.( ★★) 如图，是圆上的三点，且线段的延长线与线段的延长线交于圆外的点，若 ，则的取值范围是 . 5.(★★★)在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点 满足 ，则点集 所表示的区域面积是 . 【题型2】 基底共起点 【典题1】 如图，在平行四边形中，相交于点为线段的中点.若 ，则 等于( ) A. 1 B. C. D. 【典题2】在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上.若，则的最大值为( ) A. 3 B. C. D. 2 【巩固练习】 1.( ★★) 在中，为边上任意一点，的中点，，则的值为( ) A. B. C. D. 1 2.( ★★)在梯形中，已知分别为的中点.若，则的值为 A. B. C. D. 3.(★★) 在平行四边形中，点分别是边的中点.若，其中 ，则 . 4.(★★)两个单位平面向量的夹角为，如图，点在以为圆心的圆弧 上变动，若，则的最大值是 . 5.(★★)如图所示，在中，分别是的中点， 交于点，设向量，则的值为 . 6.(★★)已知的外心，，若 (为实数 )，则 的最小值为 . 7.(★★)如图，与的面积之比为，点是区域内的任一点(含边界)，且，则的取值范围是 . 8.( ★★★)如图，边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段 (含端点)上运动，是圆上及其内部的动点，设向量，则 的取值范围是 . 9.( ★★★)已知三角形中，，点 满足 ，设 恒成立，则的最大值为 . 【题型3】 基底不共起点 【典题1】 如图，在平行四边形中，的三等分点，的交点，为边上一动点， 内一点(含边界)，若，则的取值范围是 . 【巩固练习】 1.( ★★) 在平行四边形中，相交于点，点是线段的中点，的延长线与 交于点，若，则 等于( ) A. 1 B. C. D. 2.(★★) 设分别是的边上的点，且有，若，则的值为 . 3.(★★★)已知，点在直线上，且满足，则 .