6.4.1～6.4.2平面向量的应用-2023-2024学年高一数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019必修第二册）

6.4.1—6.4.2 平面向量的应用 1 平面几何中的向量方法 ① 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决. ② 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲” 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 把运算结果“翻译”成几何关系. Eg 点不在同一直线上 证明直线平行或共线： 证明直线垂直： 求线段比值：且 证明线段相等： 2 向量在物理中的应用 ① 速度、力是向量，都可以转化为向量问题； ② 力的合成与分解符合平行四边形法则. 【题型1】平面向量在几何中的应用 【典题1】 如图所示，若内的一点，且. 求证：． 解析 证明：设， 则． ． 由已知， ，即． ， ． ，即． 【典题2】如图， 三点不共线， ， 设 . (1)试用 表示向量 . (2)设线段 的中点分别为 ， 试证明 三点共线. 解析 (1) 三点共线， ， 同理， 三点共线， 可得 ， (2) 比较(1)， (2)， 得 解得 ， . (2) ， ， 三点共线. 【巩固练习】 1. (★) 用向量方法证明 三角形三条高线交于一点. 解析 证明 设是高线的交点, 则有，, 化简得 则 所以三角形三条高线交于一点. 2. (★)用向量方法证明 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 解析 证明 如图平行四边形， 四边形是菱形. 3. (★)在 中， 已知 是边 上靠近点 的一个三等分点， 试在直线 上求一点 (说明位置)， 使得 ? 答案 当 在线段 的延长线上， 且时， 解析 根据题意，以 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系， 又由 是边 上靠近点 的一个三等分点， 所以 ， 设 ， ， 所以当 ， 所以当 时， ， 当 在线段 的延长线上， 且时， 满足题意. 4. (★)如图， 在平行四边形 中， 点 是 的中点， 点 分别是 的三等分点 ，. 设 . (1)用 表示 ; (2)如果 有什么位置关系? 用向量方法证明你的结论. 答案 (1) ，(2) 解析 (1) ， ， (2) ， 证明: 由(1)得， ， ， ， . 5. (★)已知 中， 过重心 的直线 交线段 于 ， 交线段 于 ， 连结 并延长交 于点 ， 设 的面积为 的面积为 ， (1)用 表示 ， 并证明 为定值; (2)求 的取值范围. 答案 (1) 为定值，(2) 解析 (1)根据题意， ; 三点共线， 则存在 ， 使得 ， 即 ， 即 ， ， 整理得 ， 所以 为定值; (2)根据题意， 由(1) ， mn， ， ， 则当 时， 取得最小值 ， 当 时， 取得最大值 ， 的取值范围为 . 【题型2】 平面向量在物理中的应用 【典题1】 已知力 与水平方向的夹角为 (斜向上)， 大小为 ， 一个质量为 的木块受力 的作用在动摩擦因数 的水平平面上运动了 ， 则力 和摩擦力 所做的功分别为 A. B. C. D. 解析 根据功的公式可知， 根据向量数量积运算， 力 做的功为 ， 物体受到的底面支持力为 ， 故摩擦力 ， 又， 摩擦力与位移方向夹角为 ， 摩擦力所做的功 ， 故选：A. 【典题2】如图， 已知一条河的两岸平行， 河的宽度为 ， 某人从河的北岸出发到河对岸， 河水自西向东流速为 ， 设某人在静水中游泳的速度为 ， 在流水中实际速度为 . (1)如果要使此人游得路程最短， 且 ， 求此人游泳的方向与水流方向的夹角 和 的大小; (2)如果要使此人游得时间最短， 且 ， 求他实际前进的方向与水流方向的夹角 和 的大小. 解析 (1)如果要使此人游得路程最短， 只需此人游泳速度和水流的速度的和速度与对岸垂直，如图 1， 此人游泳的方向与水流方向的夹角 ， 此时 ， 所以 . (2)如图 2， 设 与 的夹角为 与 的夹角为 ， 实际游泳的距离为 ， 所以 ， 所以 ， 故当 与 的夹角为 时， 此人游泳到对岸用时最短， 如图 3， 图3 当 ， 由于 ， 故 ， 此时 ， 所以 . 【巩固练习】 1. (★) 若向量分别表示两个力，则为(　　) A． B． C． D． 答案