18.2.2 菱形-2023-2024学年八年级数学下学期重点题型方法与技巧（人教版）

第十八章 平行四边形 18.2.2 菱形 1 菱形的概念 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 平行四边形中，若，则四边形是菱形. 2 菱形的性质 （1）菱形的四条边都相等，即； （2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角， 即，，. 3 菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四条边相等的四边形是菱形。 【题型1】 菱形的性质 【典题1】 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在BD上取一点E，使得AE＝BE，AB＝10，AC＝12，则BE长为 . 【典题2】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH． (1)图中∠BHO　 　∠ADB(填“＞”或“＝”或“＜”)； (2)若OH＝4，菱形ABCD的面积为32，则CD的长为 　 　． 【巩固练习】 1. (★)菱形的两个邻角之比为1：2，如果较短的对角线的长是3cm，则它的周长为(　　) A．8cm B．9cm C．12cm D．15cm 2. (★)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为(12，13)，则点C的坐标是(　　) A．(0，﹣8) B．(0，﹣5) C．(﹣5，0) D．(0，﹣6) 3. (★★)中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得BD＝12cm，AC＝16cm，直线EF⊥AB交两对边于点E，F，则EF的长为(　　)​ A．8cm B．10cm C． D． 4. (★★)如图，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动(到点B为止)，点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为(　　) A．1 B． C． D．2 5. (★★)如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别为AD，DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度(　　) A．逐渐增加 B．恒等于4 C．先减小再增加 D．恒等于 6. (★★)如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线BD于点F，垂足为点E，连接AF、AC，若∠DCB＝70°，则∠FAC＝　 　． 7. (★★)如图，四边形ABCD是菱形，AC、BD交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，若AC＝8，OH＝3，则DH＝　　 ． 8. (★★★)如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别是AB，AD的中点，DE，BF相交于点G连接BD，CG．有下列结论： ①∠BGD＝120°：②BG+DG＝CG；③BD＝CG；④． 其中正确的有 　 　(将正确答案的序号填在横线上)． 【题型2】 根据条件判定菱形 【典题1】 下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是(　　) A． B． C． D． 【巩固练习】 1. (★)在下列条件中，能够判定四边形是菱形的是(　　) A．两条对角线相等 B．两条对角线互相垂直平分 C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等且互相垂直 2. (★)▱ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添如一个条件，可推出▱ABCD是菱形，那么这个条件可以是(　　) A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD 3. (★)已知▱ABCD，添加下列一个条件：①AC⊥BD ②∠BAD＝90° ③AB＝BC ④AC＝BD，其中能使▱ABCD是菱形的为(　　) A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③ 4. (★★)如图，AD是△ABC的中线，点O是AC的中点，过点A作AE∥BC交DO的延长线于点E，连接CE，添加下列条件仍不能判断四边形ADCE是菱形的是(　　) A．AB⊥AC B．AB＝AC C．AC平分∠DAE D．AB2+AC2＝BC2 【题型3】 菱形的性质和判定 【典题1】 如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，且DE＝AD，过点A作AF∥DE交CB的延长线于点F． (1)求证：四边形AFED是菱形； (2)若AB＝1，CF＝2． ①求AD的长；②AE、FD交于点O，连接OC，求OC的长． 【巩固练习】 1. (★★)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为△ABC的中线．BE∥DC，BE＝DC，连接CE． (1)求证：四边形BDCE为菱形； (2)连接DE，若∠ACB＝60°，BC＝4，求DE的长．