17.1 勾股定理-2023-2024学年八年级数学下学期重点题型方法与技巧（人教版）

第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 1 勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么. 2 勾股定理的证明 勾股定理的证明主要采用面积法。 下图是“赵爽弦图”，由得 化简得. 3 常见勾股数 常见勾股数的有；；；等. 4 两种特殊直角三角形 （1）含的直角三角形的三边长度之比为. 略证：设，则， 由勾股定理可得， 故. （2）等腰直角三角形的三边长度之比为. 略证：设，则， 由勾股定理可得， 故. 5 勾股定理的应用 （1）计算：利用勾股定理直接或间接（构造方程）求解几何量； （2）用于几何证明. 【题型1】 勾股定理的证明 【典题1】 下面图形能够验证勾股定理的有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【巩固练习】 1. (★)在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，则方案正确的是(　　) A．甲对 B．乙对 C．两人都对 D．两人都不对 2. (★)下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是(　　) A． B． C． D． 3. (★)如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为(　　) A．4 B．8 C．12 D．16 4. (★★)如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是(　　) A．30 B．20 C．18 D．10 5. (★★★)欧几里得古希腊著名数学家、欧氏几何学开创者．下面问题是欧几里得证明勾股定理的证法一小片段！如图，分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI． (1)连接BI，CE，则BI　 　CE(填＞、＜或＝)； (2)过点B作AC的垂线，交AC于点M，交HI于点N，若MN＝5，NI＝1，则正方形BCFG的面积是 　 　． 【题型2】 利用勾股定理求解几何量 【典题1】 如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则BC边长的高为(　　) A． B． C． D． 【典题2】如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝2，AD⊥BC，垂足为D． (1)求证：∠B＝2∠CAD． (2)求BD的长度； (3)点P是边BC上一点，且点P到边AB和AC的距离相等，求点P到边AB距离． 【巩固练习】 1. (★)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，DC＝2，点D在BC上，∠BAD＝∠B，BC的长为(　　) A．2 B． C．﹣2 D．+2 2. (★)如图所示，在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠CAB＝90°，AD⊥BC，那么AD的长为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4.8 3. (★★)已知△ABC中，AB＝2，AC＝，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2的值为(　　) A． B．+2 C．11 D．3 4. (★)已知一等腰三角形的两边长分别是4和6，则它的面积为(　　) A． B．16 C．6或16 D．或 5. (★★)如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝30°，AD＝2，CD＝2，则BD＝(　　) A． B． C． D． 6. (★★)△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长为(　　) A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对 7. (★★)为了比较与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C＝90°，BC＝3，D在BC上且BD＝AC＝1，通过计算可得　 　 (填“＞”或“＜”或“＝”)，写出解答过程． 8. (★★)如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠C＝120°，AB＝3，CD＝1，则四边形ABCD的面积是 　 　． 9. (★★)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC＝6，BC＝8． (1)求BE的长；(2)求△ADB的面积． 10. (★★★)已知，如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝4，以斜边AC为底边作等腰三角形ACD，腰AD刚好满足AD∥BC，并作腰上的高AE． (1)求证：AB＝AE；(2)求等腰三角形的腰长CD． 【题型3】 利用勾股定理解决实际问题 【典题1】如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若∠AOC＝90°，点A与点B的高度差AD＝米，水平距离BD＝2米，则点C与点B的高度差CE为 　 　米． 【巩固练习】