第4章 数列（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记•巧练（沪教版2020选择性必修第一册）

第4章 数列（压轴题专练） 目录： 题型1：数列的递推公式 题型2：数列与其他模块知识点结合 题型3：数列的极限 题型4：数列综合 题型5：存在性问题 题型6：放缩法 题型7：解答题——新定义题 题型8：解答题——数列与函数、不等式 题型1：数列的递推公式 1．已知是各项均为正整数的数列，且，，对任意，与有且仅有一个成立，则的最小值为 ． 2．已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论： ①的第2项小于3；   ②为等比数列； ③为递减数列；       ④中存在小于的项． 其中所有正确结论的序号是 ． 3．数列满足． ①存在可以生成的数列是常数数列； ②“数列中存在某一项”是“数列为有穷数列”的充要条件； ③若为单调递增数列，则的取值范围是； ④只要，其中，则一定存在； 其中正确命题的序号为 . 题型2：数列与其他模块知识点结合 4．对于，将n表示为，当时，.当时，为0或1.记为上述表示中为0的个数，（例如，，故，）.若，则 . 5．已知正项数列的前项和为，若，，数列的前项和为，则下列结论正确的是 . ①；②是等差数列；③；④满足的的最小正整数为10. 6．如图，已知抛物线及两点和，其中.过、分别作轴的垂线，交抛物线于、两点，直线与轴交于点，此时就称、确定了.依此类推，可由、确定、.记，、、、. 给出下列三个结论： ①数列是递减数列；②对任意，；③若，，则. 其中，所有正确结论的序号是 ． 7．设为的一个排列，满足，则这样的排列的个数为 个. 题型3：数列的极限 8．数列满足，且，为的前项和，求 9．已知平面上有个点，，，，，，，，且，记的坐标为，将，，依次顺时针排列，求= 10．已知为定义在R上的奇函数，当，，且关于直线对称．设方程（，）的正数解为，，…，…，且对无穷多个，总存在实数M，使得成立，则实数M的最小值为 . 题型4：数列综合 11．已知数列满足设表示的前项和，则使得成立的最小的正整数的值为 . 12．定义表示实数、中的较大的数，已知数列满足，，，若，记数列的前项和为，则的值为 ． 13．已知数列为无穷数列．若存在正整数，使得对任意的正整数，均有，则称数列为“阶弱减数列”．有以下两个命题：①数列为无穷数列且（为正整数），则数列是“阶弱减数列”的充要条件是；②数列为无穷数列且（为正整数），若存在，使得数列是“阶弱减数列”，则．那么（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①､②都是真命题 D．①､②都是假命题 题型5：存在性问题 14．斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用.斐波那契数列满足，.给出下列四个结论： ① 存在，使得，，成等差数列； ② 存在，使得，，成等比数列； ③ 存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列； ④ 存在正整数，且，使得. 其中所有正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．已知数列满足，则（    ） A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 16．若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列选项中为假命题的是（    ） A．存在等差数列，使得是的“M数列” B．存在等比数列，使得是的“M数列” C．存在等差数列，使得是的“M数列” D．存在等比数列，使得是的“M数列” 题型6：放缩法 17．设数列满足，其中为实数，数列的前n项和是，下列说法不正确的是（    ） A．当时，一定是递减数列 B．当时，不存在使是周期数列 C．当时， D．当时， 18．已知数列中，，若，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 19．已知各项均为正数的数列满足，，其前n项和为，则下列关于数列的叙述错误的是(    ) A． B． C． D． 题型7：解答题——新定义题 20．已知数列，若为等比数列，则称具有性质P. (1)若数列具有性质P，且，，求的值； (2)若，求证：数列具有性质P； (3)设，数列具有性质P，其中，，，若，求正整数m的取值范围. 21．定义：对于任意大于零的自然数n，满足条件且（M是与n无关的常数）的无穷数列称为M数列． (1)若等差数列的前n项和为，且，，判断数列是否是M数列，并说明理由； (2)若各项为正数的等比数列的前n项和为，且，证明：数列是M数列； (3)设数列是各项均为正整数的M