第04讲 方法篇 空间角（异面直线所成角+线面角+二面角）问题-【练透核心考点】2023-2024学年高一数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019必修第二册）

第04讲 方法篇 空间角（异面直线所成角+线面角+二面角）问题 题型一：异面直线所成角（定值） 典型例题 例题1．（2024上·四川凉山·高二统考期末）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，，则直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024上·广东梅州·高二统考期末）如图，在三棱锥中，是直二面角，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    精练核心考点 1．（2024上·北京海淀·高二清华附中校考期末）已知底面边长为2的正四棱柱的体积为，则直线与所成角的余弦为（    ） A． B． C． D． 2．（2024上·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期末）在正方体的棱长为2，为中点，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 题型二：异面直线所成角（最值+范围） 典型例题 例题1．（2024·全国·高三专题练习）如图：正方体的棱长为2，，分别为棱，的中点，则二面角的余弦值为 ；若点为线段上的动点(不包括端点)，设异面直线与所成角为，则的取值范围是 . 例题2．（2023·全国·高三专题练习）在如图直四棱柱中，底面为菱形，，，点为棱的中点，若为菱形内一点（不包含边界），满足平面，设直线与直线所成角为，则的最小值为 . 精练核心考点 1．（2023上·湖南长沙·高二雅礼中学统考期末）如图，在正方体中，动点在线段上，异面直线和所成的角为，则的取值范围是 .（用区间表示） 2．（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥的棱长均为平面为中点，.记和直线所成角为，则该三棱锥绕旋转的过程中，的最小值是 . 题型三：根据异面直线所成角求参数 典型例题 例题1．（2023·全国·模拟预测）在正四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且异面直线与所成的角为，则该正四棱锥外接球的体积为 ． 例题2．（2023上·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）已知四面体中，，、分别为、的中点，且异面直线与所成角为，则 . 例题3．（2023上·上海·高二上海交大附中校考期末）已知异面直线、所成角为，过空间定点与、成角的直线共有3条，则的大小是 . 精练核心考点 1．（2023下·湖北恩施·高二利川市第一中学校联考期末）在四面体ABCD中，，AB与CD所在的直线间的距离为3，且AB与CD所成的角为，则四面体ABCD的体积为 ． 2．（2023下·上海·高二专题练习）正方体中，过作直线，若直线与平面中的直线所成角的最小值为，且直线与直线所成角为，则满足条件的直线的条数为 . 3．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形中，，现将平行四边形沿对角线折起，当异面直线和所成的角为时，的长为 . 题型四：求直线与平面所成角（定值） 方法一：定义法 ①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线； ②连接斜足与垂足； ③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角. 典型例题 例题1．（2024上·江苏无锡·高二江苏省太湖高级中学校考阶段练习）正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则与侧面所成的角的大小为 . 例题2．（2023上·上海·高二上海市民办新虹桥中学校考期中）在正方体中，与平面所成角的大小为 . 例题3．（2023上·辽宁沈阳·高二沈阳市第十一中学校考阶段练习）如图，在三棱锥中，，底面ABC，若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值 ． 精练核心考点 1．（2024·全国·高三专题练习）如图，在几何体中，，，，，，平面，则直线与平面所成角的正弦值为 .    2．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）过正三棱锥的高的中点作平行于底面的截面，若三棱锥与三棱台的表面积之比为，则直线与底面所成角的正切值为 . 3．（2023上·上海浦东新·高三上海南汇中学校考期中）若是等边所在平面外一点，，的边长为3，则与平面所成角的大小是 . 方法二：等体积求垂线段法 ①利用等体积法求垂线段的长； ② 典型例题 例题1．（2024·全国·模拟预测）如图，在多面体中，四边形为矩形，，，，，，，，是的中点，为上一点（不是的中点）． (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 例题2．（2024·广东广州·广东实验中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 精练核心考点 1．（2024·全国·高三专题练习）如图，在多面体中，平面