第03讲 方法篇 空间几何体的内切球与外接球问题-【练透核心考点】2023-2024学年高一数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019必修第二册）

第03讲 方法篇 空间几何体的内切球与外接球问题 题型一：内切求问题 方法一：独立截面法 如图，在三棱锥中，是其内切球球心，求其内切球的半径 1、在例题图形中，画出过经过球心和切点的大圆的截面图，如图中 2、在独立截面中，找到和球半径相关的直角三角形，如图中和 3、利用相似性求出内切球半径. 典型例题 例题1．（2022下·内蒙古赤峰·高一统考期末）设圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2023上·福建福州·高三校联考期中）圆台的内切球的表面积与圆台的侧面积之比为，则圆台母线与底面所成角的正切值为（    ） A． B．1 C． D． 例题3．（2023上·云南丽江·高二丽江第一高级中学校考阶段练习）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为 ． 精练核心考点 1．（2022下·浙江·高一期末）如图所示，在正四棱锥中，，，它的内切球O与四个侧面分别相切于点E，F，G，H处，则四边形外接圆的半径为（    ） A． B．1 C． D．2 2．（2022下·河北·高一校联考期中）已知一球体刚好和圆台的上､下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该球体的表面积为 . 3．（2024上·河北·高三校联考期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，过该圆锥内切球球心作与圆锥底面平行的截面，截得圆台体积为 ． 方法二：等体积法 例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下： 即：，可求出. 典型例题 例题1．（2023下·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，则其内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2023上·广东深圳·高二红岭中学校考期中）正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为 . 例题3．（2023下·广西玉林·高一校联考期末）如图，四边形为菱形，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为 .    精练核心考点 1．（2023下·广西·高二校联考期中）已知四棱锥的各棱长均为2，则其内切球表面积为（    ）    A． B． C． D． 2．（2023上·江西景德镇·高二江西省乐平中学校考期中）我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该四面体的外接球的表面积为 ，该四面体内切球表面积为 ． 3．（2023·江苏·校联考模拟预测）已知菱形ABCD的边长为1，，将沿AC翻折，当三棱锥表面积最大时，其内切球表面积为 . 题型二：外接球问题 方法一：公式法 正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点 典型例题 例题1．（2023下·新疆喀什·高一校考期末）将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（　　） A． B． C． D． 例题2．（2023下·贵州毕节·高一统考期末）长方体的所有顶点都在一个球面上，长､宽､高分别为，那么这个球体的体积为（    ） A． B． C． D． 精练核心考点 1．（2023上·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）某正方体的棱长为，则该正方体内切球的表面积为 . 2．（2022下·贵州黔西·高二统考期末）若一个长方体的长、宽，高分别为4，2，3，则这个长方体外接球的表面积为 ． 方法二：补型法 ①墙角模型（三条线两个垂直，补为长方体模型） 题设：三条棱两两垂直 ②对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 典型例题 例题1．（2016·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2023上·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知四面体满足，，，且该四面体的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 例题3．（2024·全国·模拟预测）正四面体的棱长为2，则其棱切球的体积为（    ） A． B． C． D． 精练核心考点 1．（2023上·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期中）在三棱锥中，两两互相垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 2．（2022上·新疆·高二校考期末）已知、、两两垂直且，则过四点的球的表面积为