1.3.1线段的垂直平分线 课件 2023—2024学年北师大版数学八年级下册

1.3.1线段的垂直平分线 熊猫办公素材https://tukuppt.tukuppt.com 新课导入 线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰△AOD，并且使另一个顶点A在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个? Ｄ a Ｏ 以O为顶角顶点 以A为顶角顶点 以D为顶角顶点 画圆 画圆 画OD的中垂线 A A A A 2 复习旧知 观察： 已知点A与点A′关于直线l 对称，如果线段AA′沿直线l折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2= 90°，即直线l 既平分线段AA′，又垂直线段AA′. ● ● l A A′ D 2 1 (A) 我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线. 由图可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. ● P 在直线l 上任取一点P，线段AA′沿直线l折叠，点A与点A′重合，从而线段PA与线段PA′重合，于是PA= PA′. 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 3 理论证明 如图，直线MN⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在直线MN 上． 求证：PA =PB． 　证明：∵　MN⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB = 90°． 　　又 AC =CB，PC =PC， 　　∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． 　　∴ PA =PB． P A B M C N 4 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 线段垂直平分线的性质定理： 归纳总结 5 例1 如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为(　　) A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm C 解析：∵△DBC的周长为BC＋BD＋CD＝35cm， 又∵DE垂直平分AB， ∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm. ∵AC＝AD＋DC＝20cm， ∴BC＝35－20＝15(cm).故选C. 方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长． 6 练一练 1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点， 且PA=5，则线段PB的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 . B 10cm P A B C D 图① A B C D E 图② 7 讲授新课 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 逆 命 题 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 它是真命题吗？你能证明吗？ 8 想一想：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ 记得要分点P在线段AB上及线段AB外两种情况来讨论 9 （1）当点P在线段AB上时， ∵PA=PB， ∴点P为线段AB的中点， 显然此时点P在线段AB的垂直平分线上； （2）当点P在线段AB外时，如右图所示. ∵PA=PB， ∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C， ∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. ∴直线PC是线段AB的垂直平分线， 此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 10 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 应用格式： ∵　PA =PB， ∴　点P 在AB 的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 归纳总结 11 例2：已知：如图△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC. 求证：直线AO垂直平分线段BC. 证明：∵AB=AC， ∴A在线段BC的垂直平分线（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 同理，点O在线段BC的垂直平分线. ∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）. 你还有其他证明方法吗？ 利用三角形的全等证明 12 证明：延长AO交BC于点D， ∵AB＝AC， AO＝AO， OB＝OC ， ∴△ABO≌△ACO（SSS）. ∴∠BAO=∠CAO， ∵AB=AC， ∴AO⊥BC． ∵OB＝OC ，OD＝OD ， ∴RT△DBO≌RT△DCO（HL）.