2023-2024学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程经典题型检测卷

2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程经典题型检测卷 一、单选题 1．如图，长为a（a是正常数）的线段AB的两个端点A，B分别在互相垂直的两条直线上滑动，点M是线段AB上靠近A的三等分点，则下列说法正确的为（    ） A．点M的轨迹是圆 B．点M的轨迹是椭圆且离心率为 C．点M的轨迹是椭圆且离心率大小与a有关 D．点M的轨迹不能确定 2．已知抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线相切于点，连接，在中，设，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 3．已知双曲线的左顶点为是双曲线的右焦点，点在直线上，且的最大值是，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 4．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线经过点，并且与抛物线交于两点，与轴交于点，与抛物线的准线交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 5．双曲线：的离心率为，实轴长为4，的两个焦点为，.设O为坐标原点，若点P在C上，且，则（    ） A．2 B． C． D． 6．月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物.它的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的上焦点，半椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则的面积为（    ） A． B． C． D． 7．若双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线上的点到两焦点距离之差的绝对值为（    ） A．1 B． C．2 D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．9 二、多选题 9．已知椭圆：（）和：（），则（    ） A．与的长轴长相等 B．的长轴长与的短轴长相等 C．与的离心率相等 D．与有4个公共点 10．已知抛物线的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于点A，B，过A，B分别向C的准线作垂线，垂足分别为P，Q，线段PQ的中点为E，则（    ） A． B． C．以PQ为直径的圆过焦点F D．AE⊥BE 11．已知抛物线的焦点为，准线为上的点到焦点的距离为3，过的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），过线段的中点作轴的垂线，交抛物线于点，交的准线于点为坐标原点，则（   ） A． B．若，则直线的倾斜角为 C．为常数 D．的面积不小于的面积 三、填空题 12．已知抛物线：，且过焦点的直线与抛物线交于、两点，若以为直径的圆与轴交于和两点，则直线的方程为 . 13．已知，，是抛物线C：上的一点，则周长的最小值为 ． 14．如图所示，由圆锥曲线的光学性质知道：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射（即经椭圆在该点处的切线反射）后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C相切于点，过点P且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则 ．    四、解答题 15．已知椭圆，过外一点作的两条切线，分别交轴于两点. (1)记的倾斜角分别为.若，求的轨迹方程. (2)求面积的最小值. 16．已知椭圆E：（）的左右顶点分别为A，B，焦距为2，P是椭圆E上异于A，B的任意一点，若直线PA，PB斜率之积为． (1)求椭圆E的方程； (2)设点在椭圆E的内部，直线AT，BT分别交椭圆E于另外的点C和D，若△CDT的面积为，求t的值． 17．已知椭圆的右顶点为，上顶点为坐标原点，的面积为. (1)求的方程； (2)过的右焦点作直线与交于两点（均与点不重合），若，求的方程. 18．已知双曲线的离心率为，且左焦点到渐近线的距离为.过作直线分别交双曲线于和，且线段的中点分别为，. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线斜率的乘积为，试探究：是否存在定圆，使得直线被圆截得的弦长恒为4？若存在，请求出圆的标准方程；若不存在，请说明理由. 19．已知抛物线上的点到焦点的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)点在抛物线上，直线与抛物线交于两点（第一象限），过点作轴的垂线交于点，直线与直线、分别交于点（为坐标原点），且，证明：直线过定点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】设，表达出的坐标，利用得到方程，整理为，可得到点M的轨迹是椭圆，从而求出离心率. 【详解】设，由于点M是线段AB上靠近A的三等分点， 设，，则， 即，故， 由，故，即， 整理得到，点M的轨迹是焦点在横轴上的椭圆， 故离心率为. 故选：B 2．A 【分析】由抛物线的性质以及直线与抛物线的位置关系，利用正弦定理即可求解. 【详解】由已知，设点在准线上的射影为，则， 因为直线