6.4.3余弦定理、正弦定理应用举例（二）课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3余弦定理、正弦定理应用举例(二) 温故知新 温故知新 温故知新 探究新知1 判断三角形形状 法1: 探究新知1 判断三角形形状 法2: 探究新知1 判断三角形形状 探究新知2 三角形的面积问题 探究新知2 三角形的面积问题 探究新知2 三角形的面积问题 探究新知2 三角形的面积问题 探究新知3 三角形中的范围问题 探究新知3 三角形中的范围问题 探究新知3 三角形中的范围问题 探究新知3 三角形中的范围问题 课堂小结 余弦定理、正弦定理的应用 1.判断三角形形状 3.求三角形的边、角及面积的范围 2.求三角形面积 sinC -cosC coseq \f(C,2) sineq \f(C,2) 1.三角形中常用的结论 (1)A+B= ,eq \f(A+B,2)= . (2)在三角形中大边对 ,反之亦然. (3)三角形内诱导公式: sin(A+B)= ;cos(A+B)= ; sineq \f(A+B,2)= ;coseq \f(A+B,2)= . -C eq \f( ,2)-eq \f(C,2) 大角 2.三角形面积公式 (1)S=eq \f(1,2)a ha(ha表示a边上的高). (2)S=eq \f(1,2)absinC= = . (3)S=eq \f(1,2)(a+b+c) r(r为内切圆的半径). eq \f(1,2)bcsinA eq \f(1,2)casinB (4)S=eq \r(p p-a p-b p-c ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中p=\f(1,2) a+b+c )). (5)S=eq \f(abc,4R)(R为 ABC的外接圆的半径). 则A=B或A+B=eq \f( ,2), 则 ABC是等腰或直角三角形. 则 ABC是等腰或直角三角形. 例1 在 ABC中,已知acosA=bcosB,试判断此三角形的形状. 解:因为acosA=bcosB, 所以由正弦定理有sinAcosA=sinBcosB, 所以eq \f(1,2)sin2A=eq \f(1,2)sin2B, 所以a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), 所以a2c2-a2a2=b2c2-b2b2, 所以c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2), 所以c2=a2+b2或a=b, 例1 在 ABC中,已知acosA=bcosB,试判断此三角形的形状. 解:因为acosA=bcosB, 所以由余弦定理有aeq \f(b2+c2-a2,2bc)=beq \f(a2+c2-b2,2ac), 则 ABC是等腰或直角三角形. 总结提升 判断三角形形状的方法及注意事项 规律方法 (1)判定三角形形状的途径:①化边为角,通过三角变换找出角之间的关系;②化角为边,通过代数变形找出边之间的关系,正(余)弦定理是转化的桥梁. (2)无论使用哪种方法,都不要随意约掉公因式,要移项提取公因式,否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件,重视角的范围对三角函数值的限制. 例2 已知a,b,c分别为 ABC的三个角A,B,C的对边,且acosC+eq \r(3)asinC-b-c=0. (1)求A; (2)若a=2,则 ABC的面积为eq \r(3),求b,c. 所以2sin(A-eq \f( ,6))=1, 所以,由正弦定理得 sinAcosC+eq \r(3)sinAsinC=sinB+sinC 所以A=eq \f( ,3). eq \r(3)sinA-cosA=1, 例2 已知a,b,c分别为 ABC的三个角A,B,C的对边,且acosC+eq \r(3)asinC-b-c=0. (1)求A; 解:(1)因为acosC+eq \r(3)asinC-b-c=0. =sin(A+C)+sinC =sinAcosC+cosAsinC+sinC 所以eq \r(3)sinAsinC=cosAsinC+sinC, 又由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA, b=c=2. 所以b2+c2=8, 例2 已知a,b,c分别为 ABC的三个角A,B,C的对边,且acosC+eq \r(3)asinC-b-c=0. (1)求A; (2)若a=2,则 ABC的面积为eq \r(3),求b,c. 解:(2)因为a=2,A=eq \f( ,3), S=eq \f(1,2)bcsinA=eq \r(3), 所以bc=4, 总结提升 三角形面积计算的解题思路 对于此类问题,一般用公式S=eq \f(1,2)absinC=eq \f(1,2)bcsinA=eq \f(1,2)acsinB进行求解,可分为以下两种情况: (1)若所求面积为不规则图形,可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积. (2)若所给条件为边角