1.4.2角平分线 课件2023-2024学年北师大版数学八年级下册

1.4.2 角平分线 熊猫办公素材https://tukuppt.tukuppt.com 新课导入 三条笔直的公路围成一个三角形区域，现在计划在这个区域内修建一个仓库P，使P到三条公路的距离都相等,请在三角形区域内标出仓库P的位置. 2 复习旧知 1.回顾一下角平分线的性质定理和判定定理. 2.角平分线的作法. 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等. 判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 3 讲授新课 剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线. 你能证明这个命题吗? 观察这三条角平分线,你发现了什么? 结论: 三角形三个内角的角平分线相交于一点. 4 讲授新课 理论证明 三角形三个内角的角平分线相交于一点. 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 求证：∠A的平分线经过点P. D E F A B C P N M BM是∠ABC的平分线 CN是∠ABC的平分线 PE=PD PE=PF PD=PF 点P在∠BAC的平分线上 过点P分别作AB，BC，AC，的垂线，垂足分别为D，E，F. 5 讲授新课 理论证明 三角形三个内角的角平分线相交于一点，且这一点到三条边的距离相等. (在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上) 证明：∵BM 是∠ABC的平分线，点P在BM上 ∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等) 同理，PF=PE ∴PD=PE=PF ∴点P在A的平分线上 即 ∠A的平分线经过点P D E F A B C P N M 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 求证：∠A的平分线经过点P，且PD=PE=PF . 6 总结归纳 三角形三个角的角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等. 7 分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三个内角的角平分线，说明交点分别在什么位置. 做一做 三角形三个内角角平分线的交点在三角形的内部 8 【例1】如图，在△ABC中，已知AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E. (1)如果CD=4cm，AC的长； E D A B C （1）解：∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB，垂足为E， ∴DE=CD=4cm. ∵AC=BC,∴∠B=∠BAC. ∵∠C=90°,∴∠B=45°.∴BE=DE. 在等腰直角三角形BDE中， 9 【例1】如图，在△ABC中，已知AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E. (2)求证：AB=AC+CD. E D A B C （2）证明：由（1）的求解过程易知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL). ∴AC=AE. ∵BE=DE=CD, ∴AB=AE+BE=AC+CD. 10 【例2】如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.求证：CF=EB. F A E D B 证明：∵AD平分∠CAB, 　　 DE⊥AB，∠C＝90°（已知）, ∴　CD＝DE (角平分线的性质). 在Rt△CDF和Rt△EDB中, 　　 CD=ED（已证）, DF=DB （已知）, ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL). ∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）. 11 【变式】已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∠B＝60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为 M，N. 求证：FE＝FD. 证明：连接BF， 由题意易知BF即为∠ABC的平分线， 则FM＝FN， 在Rt△ABC中，∵∠B＝60°， ∴∠BAC＝30°. ∴∠DAB＝ ∠BAC＝15°. ∴∠FDN＝∠DAB＋∠B＝75°， ∠FEM＝∠BAC＋∠ACE＝30°＋ ∠ACB＝30°＋45°＝75°. ∴∠FEM＝∠FDN.在△FEM与△FDN中，∴△FEM≌△FDN.∴FE＝FD. 12 【例3】如图，在△ABC中，∠A