1.4.1角平分线 课件 2023—2024学年北师大版数学八年级下册

1.4.1角平分线 熊猫办公素材https://tukuppt.tukuppt.com 新课导入 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？ （比例尺为1︰20000） D C S 解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ,D即为所求. O 2 复习旧知 在纸上任意画∠AOB并沿角的两边将其剪下，并折出其角平分线， 在∠AOB的角平分线上任意取一点C，分别折出过点C且与∠AOB的两边垂直的直线，垂足分别为D，E，将∠AOB再次对折， 线段CD与CE能重合吗？ 改变点C的位置，线段CD和CE还相等吗? 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. C A O B D E 3 猜想证明 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E. 求证：PD=PE. P A O B C D E 证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO= ∠PEO， ∠AOC= ∠BOC， OP= OP， ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS). ∴PD=PE. 4 角平分线性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD = PE （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个. PD⊥OA，PE⊥OB， B A D O P E C 总结归纳 5 判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C (2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）. ∴ = ,( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 6 【例1】 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E，F. 求证：EB=FC. A B C D E F 证明： ∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB, DF⊥AC， ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC. 例题讲解 7 【例2】 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm. B A C P M D E 温馨提示：存在两条垂线段———直接应用 8 【变式】如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14. （1）则点P到AB的距离为_______. A B C P D 4 温馨提示：存在一条垂线段———构造应用 A B C P （2）求△APB的面积. D （3）求∆PDB的周长. ·AB·PD=28. 由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4， = 9 讲授新课 定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 逆 命 题 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它是真命题吗？你能证明吗？ P A O B C D E 思考：这个结论正确吗？ 10 猜想证明 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上. 证明： 作射线OP， ∴点P在∠AOB 角的平分线上. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， （全等三角形的对应角相等）. OP=OP（公共边）， PD= PE（已知 ）， B A D O P E ∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP 11 判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，