专题3.1 投影与三视图（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题3.1 投影与三视图（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】视角与盲区 人在观察目标时，从眼睛到目标的射线叫做视线，眼睛所在的位置叫做视点，有公共视点的两条视线所成的角叫做视角。我们把视线不能达到的区域叫做盲区。 【知识点二】投影与视图 投影：物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象。光线叫做投射线，影子（也叫投影）所在的平面叫做投影面． 因为太阳离我们非常遥远，所以太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影成为平行投影. 物体在太阳光下形成的影子随着物体与投影面的位置关系的改变而改变，　当小棒、三角形等纸片与投影面平行时，它们的影子的大小和形状与原物全等，当小棒、三角形等纸片与太阳光线平行时，它们的影子形成一个点,一条线.。 由平行的投射线所形成的投影叫做平行投影。 由同一点出发的投影线所形成的投影叫做中心投影。 在平行投影中，如果投影射线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影。 物体的三视图实际上是物体在三个不同方向的正投影。正投影面上的正投影是主视图，水平投影面上的正投影就是俯视图，侧投影面上的正投影就是左视图。 在画三视图时，三个三视图不要随意乱放，应做到俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右边，三个视图之间保持：长对正，高平齐，宽相等。 【考点目录】 【考点1】平行投影➼➼➻概念理解、求值与证明 【考点2】中心投影➼➼➻概念理解与相关证明与运算 【考点3】正投影➼➼➻概念理解与相关证明与运算 【考点4】视点、视角和盲区➼➼➻概念理解与相关证明与运算 【考点5】三视图➼➼➻物体三视图的判断与求值 【考点6】三视图➼➼➻物体小正方体判断与求值 【考点1】平行投影➼➼➻概念理解、求值与证明 【例1】（2023上·四川巴中·九年级统考期中）已知：如图，和是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻，在阳光下的投影． （1）请你在图中画出此时在阳光下的投影，并简述画图步骤和说明作图依据了太阳光线的哪一性质； （2）在测量的投影长时，同时测出在阳光下的投影长为，请你计算的长． 【答案】（1）见分析，作图依据是运用了太阳光线是平行光线的性质；（2） 【分析】本题考查了相似三角形的判断及性质、平行投影： （1）利用平行投影的性质即可求解； （2）利用相似三角形的判定及性质即可求解； 熟练掌握平行投影的性质及相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）解：连接，过点作，交直线于，如图所示，就是的投影， 作图依据是运用了太阳光线是平行光线的性质． （2）， ， 又， ， ， ，，， ， ． 【举一反三】 【变式1】（2022上·湖南株洲·九年级统考期中）如图，和是直立在地面上的两根立柱，米，某一时刻在阳光下的投影米，在阳光下的投影长为6米，则的长为（　　）米． A． B． C． D．14 【答案】A 【分析】根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，构建方程即可解决问题． 解：如图， 在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为米， ∵，米，米，米， ∴， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 【点拨】本题主要考查了平行投影，解题的关键是记住在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例． 【变式2】（2023上·河北邢台·九年级邢台三中校联考期中）如图，圆桌面正上方的灯泡发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）．已知灯泡距离地面2.4m，桌面距离地面0.8m（桌面厚度不计算），若桌面的面积是1.2m2，则地面上的阴影面积是 m2 ． 【答案】2.7 分析：本题考查的是相似三角形的性质和判定. 解：本题的主试图为下图，根据题意得，因为DE∥BC, ∴ AG=2.4m,FG=0.8m, ∴AF=1.6m,所以 圆桌的面积与它的阴影的面积比为4：9， ∵桌面的面积是1.2m²， ∴地面上的阴影面积是2.7 m². 故答案为2.7 m². 【点拨】本题的关键是把圆桌的和他的阴影面积的比转化为它的主视图的相似比，这个关键问题解决了，就可以根据相似三角形的性质得出结论. 【考点2】中心投影➼➼➻概念理解与相关证明与运算 【例2】（2023上·江苏泰州·九年级校考期中）如图，在路灯下，甲的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯M在线段上． （1）请你确定路灯M所在的位置，并画出表示乙在灯光下形成的影子线段． （2）如果灯距离地面，乙的身高，乙与灯杆的距离，请求出乙影子的长度． 【答案】（1）见分析；（2）1米 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质，解题的关键是： （1）连接进而延长交于点，再连接并延长交于点，得出进而得出答案； （2）证明，根据相似三角形的性质得出答案． （1）解：如图所示：路灯,即为所求；    （