10 剖析数列中结构不良性问题-《中学生数理化》高二数学2024年2月刊

剖析数列中结构不良性问题 ■江苏省盐城市时杨中学 刘长柏 结构不良性问题的命制对发挥数学学科 高考的选拔功能具有重要作用,其给予同学 们充分的选择空间,充分考查同学们对数学 本质的理解,引导大家在数学概念与数学方 法的学习中重视培养数学核心素养,克服“机 械刷题”现象。“结构不良性”问题比开放性 问题的范畴更广,对考查同学们的数学理解 能力、数学探究能力是积极和深刻的。 一、结构不良性问题的概念理解及解题 策略 所谓“结构不良”,即指构成问题的目标、 条件和解决问题的方法三者存在某种不确定 性,主要表现在具体情境缺乏足够的资源,材 料不全或参数不完整,问题目标界定不明确, 解决问题相应的知识准备不充分,解决方法 多样,所涉及的概念和原理不确定等,因而没 有唯一、标准的答案,并且问题的解答要与多 个知识领域相联系。 结构不良性问题的一般解题流程可概括 为: 通读整个题目,理解题意;选择适合自己 解题突破的条件;把条件代入题目将结构补 充完整;根据有关概念性质和公式解题。 二、结构不良性问题的解题突破 突破(1) 先定后动 此类问题,一般先利用数学知识对“定” (确定的条件)进行分析推断,得出一部分结 论;再观察分析“动”(给定选项的条件),最后 结合题干要求选出最优条件(最熟悉,能发挥 自己优势,容易拿分)进行解答。 例 1 在①a1=2,a2n+1-a2n=3(an> 0,n∈N*),②Sn=n2-2n+3(n∈N*),Sn 为{an}的前n项和,这两个条件中任选一个, 补充在下面问题中,并解答下列问题。 已知数列{an}满足 。 (1)求数列{an}的通项公式。 (2)对大于1的正整数n,是否存在正整 数m,使得a1,an,am 成等比数列? 若存在, 求m 的最小值;若不存在,请说明理由。 注:如果选择多个条件分别解答,按第一 个解答计分。 解析:(1)选择条件①。 由a2n+1-a2n=3,a1=2,得{a2n}是首项为 4,公差为3的等差数列,故a2n=3n+1。 因为an>0,所以an= 3n+1。 选择条件②。 由Sn=n2-2n+3,可得当n≥2时, an=Sn-Sn-1=2n-3。 当n=1时,a1=2不满足上式。 因此,an= 2,n=1, 2n-3,n≥2。 (2)选择条件①。 假设存在满足题意的正整数 m,使得 a1,an,am 成等比数列,则a2n=a1am,即3n+ 1=2 3m+1,m= 3n2+2n-1 4 。 因为n∈N* 且n>1,m∈N*,所以当 n=3时,mmin=8。 故存在正整数m,使得a1,an,am 成等比 数列,m 的最小值为8。 选择条件②。 假设存在满足题意的正整数 m,使得 a1,an,am 成等比数列,则a2n=a1am。 当m=1时,有a2n=4,即(2n-3)2=4, 此时n无正整数解。 当m≥2时,(2n-3)2=2(2m-3),即 m=n2-3n+ 15 4 。 因为n∈N*,所以n2-3n+ 15 4 不可能为 正整数。 故不存在正整数m,使得a1,an,am 成等 比数列。 点评:本题是初始状态的呈现不确定性 的结构不良性问题,试题设计了两个开放性 82 解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2024年2月 的可选择的条件,选择不同的条件解题的难 度是有所不同的。这启示同学们在解题时要 选择一个适合自己的条件来解决。 突破(2) 先动后定 此类问题,一般利用数学知识对“定”(确 定的条件)进行分析推断,不容易得到明确的 结论,必须先观察分析“动”(给定选项的条 件),经过分析推理得到有利于解题的结论, 再结合“定”的条件进行解答。 例 2 设等差数列{an}的前n 项和为 Sn,已知a1=1,S5=15。 (1)求{an}的通项公式; (2)设数列{bn}的前n 项和为Tn,从条 件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个 作为已知,使得数列{bn}唯一确定,求{bn}的 通项公式。 条件①:Tn+1=Tn+an;条件②:Tn= 2bn- an n ;条件③:Tn=2 an-1。 解析:(1)设等差数列{an}的公差为d。 由S5= (a1+a5)×5 2 =15 ,得a1+a5= 6,则a5=6-a1=5。 由a5=a1+4d=1+4d=5,得d=1。 因此,an=a1+(n-1)d=1+n-1=n。 (2)若选条件①。 由Tn+1=Tn+an=Tn+n,得 Tn+1- Tn=n。 当n=1时,T2-T1=b2=1; 当n=2时,T3-T2=b3=2。 Tn+1-Tn=bn+1=n,但b1 值未知,故满 足条件①的数列{bn}不唯一。 若选条件②。 Tn=2bn- an n =2bn-1 ,当n=1时,