05 利用同构思想巧思妙解-《中学生数理化》高二数学2024年2月刊

利用同构思想巧思妙解 ■山东省枣庄市第二中学 王中华(正高级教师) 同构思想是数学基本思想之一,在数学 中最简单而常用的同构类比,就是数形结合、 函数与图像、代数与解析几何等。这就使得 人们可以用代数方法来研究几何,或者用几 何方法来解决代数问题。此思想方法常用于 求解含有对数、指数等混合式子结构的等式 或不等式问题。 同学们用同构法解题,除要有同构法的 思想意识,还需要有较强的观察思考能力和 变形转化能力。 一、在方程中的应用 例 1 已知x0 是方程x3ex-4+2ln x-4 =0的一个根,则e 4-x0 2 +2ln x0 的值是( )。 A.3 B.4 C.5 D.6 分 析:根 据 题 意 变 形 得 e3ln x+x-4 + 3ln x+x-4=eln x+ln x。进而构造函数 f(x)=ex+x,由函数的单调性得3ln x+ x-4=ln x,即x=e 4-x 2 ,进而e 4-x0 2 +2ln x0 =x0+2ln x0=4。 解:x3ex-4+2ln x-4=0⇒e3ln x+x-4+ 3ln x+x-4=ln x+x=eln x+ln x。 设f(x)=ex+x,则f'(x)=ex+1>0 恒成立,故f(x)单调递增。 由f(3ln x+x-4)=f(ln x),得 3ln x+x-4=ln x,所以x=e 4-x 2 。 所以e 4-x0 2 +2ln x0=x0+2ln x0=4。 选B。 感悟提升:如果方程f(a)=0和f(b)= 0呈现同构特征,则a,b可视为方程f(x)= 0的两个根。本题考查导数同构求解函数 值,也考查运算求解能力、转化与化归思想, 属于中档题。解本题的关键在于根据同构式 整理得e3ln x+x-4+3ln x+x-4=eln x+ln x, 进而构造函数f(x)=ex+x,研究函数的单 调性,可得3ln x+x-4=ln x,即x=e 4-x 2 ,进 而求解。 二、在函数中的应用 例 2 已知f(x)是定义在 R上的增 函数。 (1)若f(x)= (4a-1)x-15,x≤1, 7a-14 x ,x>1, 求 实数a的取值范围。 (2)若 f (x)为 奇 函 数,且 不 等 式 f(ax2-3x-1)+f(-ax+5)>-ax2+ (3+a)x-4对任意的x∈R恒成立,求实数 a的取值范围。 解 析: (1) 因 为 f (x ) = (4a-1)x-15,x≤1, 7a-14 x ,x>1, 是定义在R上的增函 数,所以 4a-1>0, 7a-14<0, (4a-1)-15≤7a-14。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a> 1 4 , a<2, a≥- 2 3 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 所以 1 4<a<2 。 (2)f(x)为奇函数,原不等式恒成立等价于 f(ax2-3x-1)+ax2-3x-1>-f(-ax+5)+ ax-5对任意的x∈R 恒成立,即f(ax2- 3x-1)+ax2-3x-1>f(ax-5)+ax-5 对任意的x∈R恒成立。 构造函数h(x) =f(x)+x,易知h(x) 是定义域在R上的增函数。 故原不等式恒成立等价于ax2-3x- 1>ax-5对任意的x∈R恒成立,即ax2- (3+a)x+4>0对任意的x∈R恒成立。 当a≤0时,结论显然不成立; 当a>0时,则(3+a)2-16a<0,解得 51 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年2月 1<a<9。 故实数a的取值范围是(1,9)。 感悟提升:对于含参的恒成立问题(不能 分离型),不妨探索式子的结构特征,并将不 等式左右两侧化为相同结构,合理构造新函 数,利用单调性去掉“壳”,简化问题。 三、在逻辑用语中的应用 例 3 若a,b∈R,则“a>b”是“a|a|> b|b|”的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 分析:根据不等式的结构特点构造函数, 利用函数的单调性解不等式。借助不等式的 性质,结合充分条件和必要条件的定义进行 判断即可得到结论。 解:观察a|a|>b|b|可发现其同构的特 点,依据这种结构,设函数为f(x)=x|x|, 分析其单调性。 f(x)=x|x|= x2,x>0, -x2,x<0, 分析可得 f(x)在定义域内为增函数。 因此,a>b⇔f(a)>f(b),即a>b⇔ a|a|>b|b|,是充要条件。选C。 感悟提升:本题主要考查充分条件和必 要条件的定义,可利用不等式的性质,结合分 类讨论思