02 浅谈近几年高考全国卷中“数列解答题的解题策略-《中学生数理化》高二数学2024年2月刊

浅谈近几年高考全国卷中“数列”解答题的解题策略 ■河南省固始县高级中学教育集团 胡云兵 2023年高考数学题的命制与前几年相 比有一定的创新,尤其是数列题的难度有所 增加。下面从最近几年高考题以及重要模拟 考试题中,总结数列解答题的命题规律和 方向。 一、数列在解答题中的位置变化 在2018年之前,基于2003版课标的全 国卷的数列题在解答题中的位置都是第17 题(第一道解答题),属于基础题,但从2019 年起,数列题在解答题中的位置开始变得灵 活。这在教育部考试中心《试题分析(数学)》 (2020年版)中 有 说 明,下 面 是 部 分 摘 录: 2019年的理科数学试卷,在整体设计上保持 平稳,……,但在整体平稳的基础上,也有了 适当 的 变 化,主 要 体 现 在 主 观 题 的 设 计 上。……对重点内容的考查,在整体符合《考 试大纲》和《考试说明》要求的前提下,在各部 分内容的布局和考查难度上会进行动态设计。 表1是近几年全国卷、新高考卷中数列 解答题的题号。 表1 试卷 题号 试卷 题号 2019年全国Ⅱ 19 2020年全国Ⅰ 17 2020年全国Ⅲ 17 2020年新高考Ⅰ 18 2021年全国乙 19 2021年全国甲 18 2021年新高考Ⅰ 17 2021年新高考Ⅱ 17 2022年新高考Ⅰ 17 2022年新高考Ⅱ 17 2022年全国甲 17 2023年全国甲 17 2023年新高考Ⅱ 18 2023年新高考Ⅰ 20 二、解题策略 策略1 应用累乘法 这是求数列通项公式的一个重要的方 法,在近几年高考全国卷中都进行了考查。 例 1 (2021年全国乙卷第19题) 记 Sn 为数列{an}的前n项和,bn 为数列{Sn}的 前n项积,已知 2 Sn + 1 bn =2。 (1)证明:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式。 分析:(1)由题意知当n=1时,b1=S1, 代入已知等式可得b1 的值。当n≥2时,将 bn bn-1 =Sn,代入 2 Sn + 1 bn =2,可得bn-bn-1= 1 2 ,得到数列{bn}是等差数列。 (2)由a1=S1=b1= 3 2 ,可得bn= n+2 2 , 代入已知等式可得Sn= n+2 n+1 。当n≥2时, an=Sn-Sn-1=- 1 n(n+1) ,进一步得到数列 {an}的通项公式。 解:(1)当n=1时,b1=S1。 由 2 b1 + 1 b1 =2,解得b1= 3 2 。 当n≥2时, bn bn-1 =Sn,代入 2 Sn + 1 bn =2, 消去Sn,可得 2bn-1 bn + 1 bn =2,所以bn-bn-1= 1 2 。 因此,{bn}是以 3 2 为首项,1 2 为公差的等 差数列。 (2)由题意得a1=S1=b1= 3 2 。 由(1)可得bn= 3 2+ (n-1)× 1 2= n+2 2 。 由 2 Sn + 1 bn =2,可得Sn= n+2 n+1 。 当n≥2时,an=Sn-Sn-1= n+2 n+1- n+1 n =- 1 n(n+1) ,显然a1 不满足该式。 所以an= 3 2 ,n=1, - 1 n(n+1) ,n≥2。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 5 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年2月 点评:第一问证明等差数列,求bn 与Sn 的关系需要相除,和累乘法的方法类似。 例 2 (2022年新高考Ⅰ卷第17题) 记Sn 为数列{an}的前n 项和,已知a1=1, Sn an 是公差为13的等差数列。 (1)求{an}的通项公式; (2)证明: 1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an <2。 分析:(1)直接利用数列的递推关系式求 出数列的通项公式; (2)结合(1)的结论,利用裂项相消法求 出数列的和,再利用放缩法求出结果。 解:(1)(解法一,隔项累乘法) 已知a1= 1, Sn an 是公差为13的等差数列,所以Snan = 1+ 1 3 (n-1)= 1 3n+ 2 3 。 整理得Sn= 1 3nan+ 2 3an 。① 故当n≥2时,Sn-1= 1 3 (n-1)an-1+ 2 3an-1 。② ①-② 得 1 3an = 1 3nan - 1 3nan-1- 1 3an-1 ,故(n-1)an=(n+1)an-1。 化简得,an an-1 = n+1 n-1 ,an-1 an-2 = n n-2 ,…,a5 a4 = 6 4 ,a4 a3 = 5 3 ,a3 a2 = 4 2 ,a2 a1 = 3 1 。 所以 an a1 = n+1 n-1× n n-2× …× 6 4× 5 3× 4 2× 3 1= n