16 巧借坐标法，妙解向量题-《中学生数理化》高一数学2024年2月刊

■宋欢欢 平面向量同时兼备“数”与“形”的双重属 性,是巧妙衔接代数与几何的一个知识纽带, 也是解决问题的一个重要工具,特别是通过 坐标系的构建,巧妙利用坐标法,可以从“数” 的视角来研究与解决平面向量中“形”的问 题。坐标法是解决向量问题的一种重要技巧 与方法。 一、参数值的确定 例 1 古 希 腊 数 学 家 特 埃 特 图 斯 (Theaetetus,约公元前417—公元前369)利 用如图1所示的直角三角形来构造无理数 2,3,5,…。已知 AB=BC=CD=1, AB⊥BC,AC⊥CD,AC 与BD 交于点O,若 DO→=λAB→+μAC→,则λ+μ=( )。 图1 A.2-1 B.1- 2 C.2+1 D.- 2-1 分析:根据题设条件,利用AC⊥CD,构 建平面直角坐标系,确定相关点的坐标,结合 平面向量的坐标运算,联立方程组,求出对应 的参数值。 解:以点C 为坐标原点,CD,CA 所在直 线分别为x 轴,y 轴,建立如图1所示的平面 直角坐标系。在△ABC 中,由AB=BC=1, AB⊥BC,可得 AC= 2,则C(0,0),A(0, 2),B 2 2 ,2 2 ,D(-1,0),所 以 AB→= 2 2 ,- 2 2 ,AC→=(0,- 2)。 在△BCD 中,由 BC=CD=1,∠DCB =90°+45°=135°,可得∠BDC=22.5°。由 tan45°= 2tan22.5° 1-tan222.5° =1,解得tan22.5°= 2-1(负值舍去),所以OC=DC·tan22.5° = 2-1,则点O(0,2-1),所以DO→=(1, 2-1)。 又因为DO→=λAB→+μAC→=λ 22,- 2 2 + μ(0,- 2)= 2 2λ ,- 2 2λ-2μ ,所 以 1= 2 2λ , 2-1=- 2 2λ-2μ , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解得 λ=2, μ=-1, 所以λ+ μ=2-1。应选A。 注意到题设条件中的垂 直关系,由此建立平面直角坐 标系,利用坐标法,结合平面向量的坐标运算 来解决平面向量基本定理中的参数的值。坐 标系的构建,坐标法的应用,由平面向量的线 性关系转化为对应的坐标关系,处理起来更 加方便快捷。 二、向量模的问题 例2 已知向量a,b 满足|a-b|= 3, |a+b|=|2a-b|,则|b|= 。 分析:通过坐标系的构建与对应向量坐 标的设置,逆向思维,结合题中向量的模,以 及两向量的模相等的关系,合理构建关系式, 求得相应的向量模。 解:构建平面直角坐标系,不失一般性, 设a=(m,0),b=(rcosα,rsinα),m>0,r> 0,α∈ [0,2π],则 a+b= (m +rcosα, rsinα),2a-b=(2m-rcosα,-rsinα)。结 合|a+b|=|2a-b|,可得(m+rcosα)2+ r2sin2α=(2m-rcosα)2+r2sin2α,整理得 83 创新题追根溯源 高一数学 2024年2月 m2=2rmcosα,所以m=2rcosα。 因为a-b=(m-rcosα,-rsinα),又 |a-b|= 3,所以(m-rcosα)2+r2sin2α= 3,整理得m2-2rmcosα+r2=3,代入 m= 2rcosα得r2=3。因为b2=r2,所以|b|= r= 3。 从所求向量的模入手,合 理构建平面直角坐标系,引入 三角坐标,为问题的展开与解决拓展一个全 新的局面。 三、数量积的求值 例3 已知正方形ABCD 的边长是3,E 是AB 上的三等分点(AE<EB),则 EC→· ED→=( )。 A.7 B.7 C.27 D.11 分析:根据题设条件,将正方形放置于平 面直角坐标系中,利用坐标法,可以简捷有效 地解决平面向量的数量积问题。 解:如图2,以 A 为坐标原点,AB 所在 直线为x 轴,建立平面直角坐标系Axy。 图2 易得C(3,3),D(0,3),E(1,0),所以 EC→=(3,3)-(1,0)=(2,3),ED→=(0,3)- (1,0)=(-1,3),所以EC→·ED→=(2,3)· (-1,3)=2×(-1)+3×3=7。应选B。 根据平面向量的数量积 的坐标运算a·b=x1x2+ y1y2 求对应的数量积,关键在于构建相应的 平面直角坐标系并确定对应向量的坐标。 四、数量积的最值 例4 已知平面向量a,b,c满足|a|= |b|=|c|=1,a·b= 1 2 ,则(a+b)·(2b- c)的最小值为( )。 A.3+ 3 B.3- 3 C.2+ 2 D.2- 2 分析:合理构建平面直角坐标系,通过向 量的模与数量积