14 平面向量问题中的易错点剖析-《中学生数理化》高一数学2024年2月刊

■宋文成 平面向量融数、形于一体,具有几何与代 数的“双重身份”,它是沟通代数、几何与三角 函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景。 下面针对同学们在向量求解过程中的易错 点,探究其原因,给出应对方法和策略,希望 助同学们一臂之力。 易错点1:忽视向量的基本概念 例1 下列4个命题:①若a∥b,b∥c,则 a∥c;②若A,B,C,D 是同一平面内的四个 点,且AB→=DC→,则四边形ABCD 为平行四 边形;③若a·b=a·c,则a=0或b=c; ④(a·b)c=(b·c)a。其中正确命题的个 数为 。 错解:正确命题的个数为1或2或3或 4。 错因:①忽视零向量与任意向量共线; ②忽视四点共线的情况;③忽视a⊥(b-c); ④对数量积的运算理解错误。 正解:若b 为零向量,则a∥c 不一定成 立,①为假命题。若AB→=DC→,则A,B,C,D 可能共线,②为假命题。若a·b=a·c,则 a=0或b=c 或a⊥(b-c),③为假命题。 (a·b)c表示与c共线的向量,(b·c)a表示 与a共线的向量,则(a·b)c,(b·c)a 可能 不共线,因此不一定相等,④为假命题。正确 命题的个数为0。 易错点2:忽视向量共线的概念 例2 已知向量a=(2,1),b=(λ,1), λ∈R,a与b 的夹角θ。若θ为锐角,则λ的 取值范围是 。 错解:cosθ= a·b |a|·|b|= 2λ+1 5· λ2+1 。 由 θ 为 锐 角,可 得 cosθ > 0,所 以 2λ+1 5· λ2+1 >0,所以2λ+1>0,可得λ> - 1 2 。故λ的取值范围是 - 1 2 ,+∞ 。 错因:当向量a,b 同向时,θ=0,cosθ= 1,满足cosθ>0,但θ不是锐角。 正解:由θ为锐角,可得0<cosθ且cosθ ≠1。因为cosθ= a·b |a|·|b|= 2λ+1 5· λ2+1 , 所以0< 2λ+1 5· λ2+1 ,且 2λ+1 5· λ2+1 ≠1,所 以 2λ+1>0, 2λ+1≠ 5· λ2+1, 解得 λ>- 1 2 , λ≠2。 故λ 的取值范围是 λλ>- 1 2 ,且λ≠2 。 易错点3:对两向量的夹角相等理解不 准确 例3 若单位向量a,b,c 两两夹角相 等,则a+b+c的模为 。 错解:由单位向量a,b,c两两夹角相等, 可得夹角为120°,所以(a+b+c)2=a2+ b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=12+12+ 12+2×1×1×cos120°+2×1×1×cos120° +2×1×1×cos120°=0。 故a+b+c的模为0。 错因:上述解法忽视了夹角为0°的情况。 正解:当a,b,c 两两夹角为0°时,a+ b+c的模为3;当a,b,c两两夹角为120°时, (a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+ 2c·a=12+12+12+2×1×1×cos120°+ 2×1×1×cos120°+2×1×1×cos120°=0。 故a+b+c的模为3或0。 易错点4:忽视两向量夹角的方向 例4 已知等边△ABC 的边长为1,则 BC→·CA→+CA→·AB→+AB→·BC→= 。 错解:因为△ABC 为等边三角形,所以 |BC→|=|CA→|=|AB→|=1,所以向量 AB→, BC→,CA→ 间的夹角均为60°。结合数量积公 式得BC→·CA→=CA→·AB→=AB→·BC→=12。 43 易错题归类剖析 高一数学 2024年2月 故BC→·CA→+CA→·AB→+AB→·BC→= 3 2 。 错因:向量的数量积的定义为a·b= |a|·|b|·cosθ,其中θ是a 与b 的夹角。 两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量 的两条有向线段间的夹角,BC→ 与CA→ 的夹角 不是∠C,BC→ 与CA→ 的夹角是∠ACD(D 为 BC 的延长线上一点)。 正解:BC→ 与CA→ 的夹角是∠ACB 的补 角,即为∠ACD=180°-∠ACB=120°。因 为|BC→|=|CA→|=|AB→|=1,所以 BC→· CA→=|BC→||CA→|cos120°=-12。同理可得 CA→·AB→=AB→·BC→=-12。 故BC→·CA→+CA→·AB→+AB→·BC→= - 3 2 。 易错点5:忽视平面向量基本定理的成 立条件 例5 下列各组向量中,可以作为基底 的是( )。 A.a=(0,0),b=(1,-2) B.a=(-1,2),b=(5,7) C.a=(3,5),b=(6,10) D.a=(2,-3),b=(4,-6) 错解:应选A或C或D。 错因:概念模糊致错。根据基底的定义, 只有非零且不共线的向量才可以作为平面内 的基