11 巧用数学思想求解平面向量问题-《中学生数理化》高一数学2024年2月刊

■张生建 平面向量问题中蕴含着丰富的数学思 想。对于平面向量问题,灵活应用相应的数 学思想,往往能简便、准确地求解。 一、方程思想 例1 已知A(1,-2),B(2,1),C(3,2) 和D(-2,3),以AB→,AC→ 为一组基底来表示 AD→+BD→+CD→。 解:因为A(1,-2),B(2,1),C(3,2), D(-2,3),所以 AB→=(1,3),AC→=(2,4), AD→=(-3,5),BD→=(-4,2),CD→=(-5, 1),所以AD→+BD→+CD→=(-3,5)+(-4, 2)+(-5,1)=(-12,8)。 由平面向量基本定理可知,存在 m,n∈ R,使得AD→+BD→+CD→=mAB→+nAC→,所以 (-12,8)=m (1,3)+n(2,4),所 以 m+2n=-12, 3m+4n=8, 解 得 m=32 , n=-22。 故 AD→ + BD→+CD→=32AB→-22AC→。 评析:用一组基底表示向量,一般先求出 基底向量和被表示向量的坐标,再利用待定 系数法求解。 二、函数思想 例2 如图1,在直角梯形 ABCD 中, |DA→|=2,∠CDA=π3,DA →=2CB→,∠B 为 直角,E 为AB 的中点,DP→=λDC→(λ∈R,0≤ λ≤1)。求|PE→|的最小值,并指出相应的实 数λ的值。 图1 解:由 ∠B = π 2 ,可 得 ∠A = π 2 。由 ∠CDA= π 3 ,可得|DC→|=|DA→|=2|CB→|= 2。因为 PE→=12(PA →+PB→)=12[(DA →- DP→)+(PC→+CB→)]=12 DA →-λDC→+(1- 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 λ)DC→+12DA → =12 32DA→+(1-2λ)DC→ = 3 4DA →+1-2λ2 DC →,又|DC→|=|DA→|=2,所 以|PE→|2=916DA →2+ (1-2λ)2 4 DC →2+34(1- 2λ)·DA→·DC→=94+(1-2λ) 2+ 3 2 (1- 2λ)=4λ2-7λ+ 19 4=4λ- 7 8 2 + 27 16 。因为 0≤λ≤1,所以当λ= 7 8 时,|PE→|2 有最小值 27 16 ,即|PE→|的最小值为334 。 评析:涉及向量的最值与取值范围问题, 可利用函数的性质来解决。 三、数形结合思想 例3 在如图2所示的平面图形中,已知 OM =1,ON =2,∠MON =120°,BM→ = 2MA→,CN→=2NA→,则BC→·OM→ 的值为 。 图2 解:(方法1)连接OA。因为BC→=AC→- AB→=3AN→-3AM→=3(ON→-OA→)-3(OM→- OA→)=3(ON→-OM→),所 以 BC→·OM→= 3(ON→-OM→)·OM→ =3(ON→ ·OM→ - |OM→|2)=3×(2×1×cos120°-12)=3× (-2)=-6。 (方法2)连接 MN。因为BM→=2MA→, 22 知识结构与拓展 高一数学 2024年2月 CN→=2NA→,所以AMAB= 1 3= AN AC ,所以 MN∥ BC,且 MN BC = 1 3 ,所以BC→=3MN→=3(ON→- OM→),所以BC→·OM→=3(ON→·OM→-OM→ 2 ) =3(2×1×cos120°-12)=-6。 评析:求向量的数量积的三种方法:定义 法,基向量法,坐标法。本题也可以建立坐标 系,利用坐标法求解,同学们不妨试一试。 四、分类讨论思想 例4 在 Rt△ABC 中,AB→=(2,3), AC→=(0,m),则实数m 的取值集合为 。 解:由向量AB→=(2,3),AC→=(0,m),可 得BC→=(-2,m-3)。 当∠A=90°时,AB→·AC→=0,所以3m =0,解得m=0; 当∠B=90°时,AB→·BC→=0,所以-4+ 3(m-3)=0,解得m= 13 3 ; 当∠C=90°时,AC→·BC→=0,所以m(m -3)=0,解得m=0或m=3。 综 上 所 述,实 数 m 的 取 值 集 合 为 0,3, 13 3 。 评析:分类讨论时,要分类准确,做到不 重不漏。题中没有指明△ABC 的斜边,因此 需要对直角顶点的位置分类讨论。 五、等价转化思想 例5 设(a2+b2)(m2+n2)=(am+ bn)2,其中mn≠0。求证: a m= b n 。 证明:结合向量的夹角公式和模长公式, 构造向量c=(a,b),d=(m,n)求解。 (方法1)设c=(a,b),d=(m,n),则 |c|2=a2+b2,|d|2=m2+n2,c·d=am+ bn。因为(a2+b2)(m2+n2)=(am+bn)2