08 巧用共线向量解题-《中学生数理化》高一数学2024年2月刊

■黄 炜 共线向量(平行向量)是方向相同或相反 的向量,共线向量是特殊的向量。下面就共 线向量有关的几种题型进行实例剖析,供大 家学习。 一、利用共线向量求点的坐标 例1 已知点 A(4,0),B(4,4),C(2, 6),O(0,0),则直线 AC 与OB 的交点P 的 坐标为 。 解:设 点 P(x,y),则 OP→=(x,y), OA→=(4,0),OB→=(4,4),OC→=(2,6)。因为 P,B,O 三点共线,所以OP→∥OB→,所以4x- 4y=0。因为AP→=OP→-OA→=(x,y)-(4, 0)=(x-4,y),AC→=OC→-OA→=(2,6)-(4, 0)=(-2,6),又 P,A,C 三点共线,所以 AP→∥AC→,所 以 6(x-4)+2y=0。由 4x-4y=0, 6(x-4)+2y=0, 解得x=3,y=3。故点 P 的坐标为(3,3)。 评注:解答这类问题,可将题目中的线段 向量化,利用共线向量,求出点的坐标。 二、利用共线向量判断点的位置 例2 已知平面内一点P 及△ABC,若 PA→+PB→+PC→=AB→,则点P 与△ABC 的位 置关系是( )。 A.点P 在线段AB 上 B.点P 在线段BC 上 C.点P 在线段AC 上 D.点P 在△ABC 外部 解:由PA→+PB→+PC→=AB→,可得PA→+ PB→+PC→=PB→-PA→,即PC→=-2PA→,所以 点P 在线段AC 上。应选C。 评注:由PC→=-2PA→,可知向量PC→ 与 PA→ 的方向相反。 三、利用共线向量求角的大小 例3 已知向量a=(1-sinθ,1),b= 1 2 ,1+sinθ ,若a∥b,则锐角θ= 。 解:由a∥b,可得(1-sinθ)(1+sinθ)= 1 2 ,所以cos2θ= 1 2 ,所以cosθ= 2 2 或cosθ= - 2 2 。又θ 为锐角,所以cosθ= 2 2 ,所以 θ=45°。 评注:设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2), 向量a,b(b≠0)共线的充要条件是x1y2- x2y1=0。 四、利用共线向量求参数的值 图1 例4 如图1, 在 △OAB 中,OC 与 MN 相 交 于 点 P,OC→=2OP→,AB→ =2AC→,OM→ = mOB→,ON→=nOA→, 若m= 3 8 ,则n= 。 解:(方法1)由OC→=2OP→,AB→=2AC→, 可知P 是OC 的中点,C 是AB 的中点,所以 OC→=12(OA →+OB→),则OP→=14(OA →+OB→)。 因为OM→=38OB →,ON→=nOA→,所以 MN→= ON→-OM→=nOA→-38OB →,MP→=OP→-OM→= 1 4 (OA→+OB→)-38OB →=14OA →-18OB →。因 为 M,P,N 三点共线,所以存在实数λ,使 MN→ =λMP→ 成 立,即 nOA→ - 38OB → = λ 14OA →-18OB → 。又因为OA→,OB→ 不共线, 所以 n= 1 4λ , - 3 8=- 1 8λ , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得λ=3,n= 3 4 。 (方法2)设 MP→=λMN→。因为 OM→= 3 8OB →,ON→=nOA→,所以 OP→=OM→+MP→= 61 知识结构与拓展 高一数学 2024年2月 OM→+λMN→=38OB →+λ(ON→-OM→)=38OB → +λnOA→-38OB → =38(1-λ)OB→+nλOA→。 又OC→=2OP→,所以 OP→=12OC →=14OA →+ 1 4OB →。因为不共线向量 OA→,OB→ 表示OP→ 是唯一的,所以 3 8 (1-λ)= 1 4 , nλ= 1 4 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得λ= 1 3 , n= 3 4 。 评注:若a,b 不共线,且xa+yb=0,则 x=y=0。 五、利用共线向量求模的取值范围 例5 若|AB→|=2023,|AC→|=2022,则 |BC→|的取值范围是 。 解:易得BC→=AC→-AB→。当AB→,AC→ 同 向时,|BC→|=2023-2022=1;当 AB→,AC→ 反向时,|BC→|=2023+2022=4045;当 AB→,AC→ 不共线时,1<|BC→|<4045。 故|BC→|的取值范围是[1,4045]。 评注:解题时,AB→,AC→ 同向与反向是特 殊情况,不能忽视。 六、利用共线向量证明三点共线 例6 已知点 O 为坐标原点,点 A(0, 2),B(4,6),OM→=t1OA→+t2AB→。求证:当 t1=1时,不论t2 为何实数,A,B,M 三点都 共线。 证明