05 例说平面向量基本定理的应用&06 巧用三点共线的等价条件解题-《中学生数理化》高一数学2024年2月刊

■陈 丰 平面向量基本定理是高中数学中的重要 定理,解决向量问题,离不开平面向量基本定 理的应用。下面就平面向量基本定理的应用 进行举例分析,供同学们学习与参考。 一、求向量 例1 如图1,已知梯形ABCD 中,AB∥ DC,且AB=2CD,E,F 分别是DC,AB 的 中点,设AD→=a,AB→=b,试以a,b为基底表 示向量DC→,BC→,EF→。 图1 解:连 接 FD。因 为 DC∥AB,AB= 2CD,E,F 分 别 是 DC,AB 的 中 点,所 以 DC∥FB,且DC=FB,所以四边形DCBF 为 平行四边形,所以 DC→=FB→=12AB →=12b, BC→=FD→=AD→-AF→=AD→-12AB →=a- 1 2b ,EF→=DF→-DE→=-FD→-DE→=-BC→- 1 2DC →=- a-12b -14b=14b-a。 用基底表示向量需要把 要表示的向量放在三角形或 平行四边形中,结合向量的加减法及数乘向 量求解。 二、判断基底 例2 设e1,e2 是不共线的两个向量,给 出下列四组向量:①e1 与e1+e2,②e1-2e2 与e2-2e1,③e1-2e2 与4e2-2e1,④e1+e2 与e1-e2。其中不能作为平面内所有向量的 一组基底的序号是 。 解:①设e1+e2=λe1,则 λ=1, 1=0, 此方程 无解,所以e1+e2 与e1 不共线,即e1 与e1+ e2 可作为一组基底。 ②设e1-2e2=λ(e2-2e1),则(1+2λ)e1 -(2+λ)e2=0,所以 1+2λ=0, 2+λ=0, 此方程无 解,所以e1-2e2 与e2-2e1 不共线,即e1- 2e2 与e2-2e1 可作为一组基底。 ③因为e1-2e2=- 1 2 (4e2-2e1),所以 e1-2e2 与4e2-2e1 共 线,则e1-2e2 与 4e2-2e1 不能作为一组基底。 ④设e1+e2=λ(e1-e2),则(1-λ)e1+ (1+λ)e2=0,所以 1-λ=0, 1+λ=0, 此方程无解,所 以e1+e2 与e1-e2 不共线,则e1+e2 与e1- e2 可作为一组基底。 故不能作为平面内所有向量的一组基底 的是③。 若平面内的两个向量不 共线,则 它 们 可 作 为 一 组 基 底;若共线,则它们不可能作为一组基底。 三、求一个向量在一组基底下的坐标 例3 若α,β 是一组基底,向量γ= xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ 在 基底α,β下的坐标。已知向量a在基底p= (1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a 在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐 标为( )。 A.(2,0) B.(0,-2) C.(-2,0) D.(0,2) 解:已知a在基底p,q下的坐标为(-2, 2),即a=-2p+2q=(2,4),令a=xm+ yn=(-x+y,x+2y),则 -x+y=2, x+2y=4, 解得 x=0, y=2。 所以a 在基底m,n 下的坐标为(0, 11 知识结构与拓展 高一数学 2024年2月 2)。应选D。 若两个向量相等,则这两 个向量在x 轴、y 轴上的坐标 分别相等。 四、求参数的值 例4 在△ABC 中,AN→=14NC →,若 P 是直线BN 上的一点,且满足AP→=mAB→+ 2 5AC →,则实数m 的值为 。 解:由题意可设BP→=nBN→(n∈R),则 AP→=AB→+BP→=AB→+nBN→=AB→+n(AN→ -AB→)=AB→+n 15AC →-AB→ =(1-n)AB→ + n 5AC →。又因为AP→=mAB→+25AC →,所以 1-n=m, n 5= 2 5 , 解得 n=2,m=-1。 所以实数 m 的值 为-1。 应用平面向量基本定理 表示向量的实质是利用平行 四边形法则或三角形法则进行向量的加、减 或数乘运算。 五、判断向量共线 例5 在△ABC 中,若 AD→=12(AB →+ AC→),则下列关系正确的是( )。 A.BD→=2CD→ B.BD→=DC→ C.BD→=3CD→ D.CD→=2BD→ 解:由AD→=12(AB →+AC→),可得2AD→= AB→+AC→,即 AD→-AB→=AC→-AD→,所以 BD→=DC→。应选B。 CD→与DC→ 是两个相反向 量,即这两个向量的模相等, 且方向相反。 六、求代数式的取值范围 例6 “六芒星”由两个全等的正三角形 组成,中心重合于点 O 且三组对边分别平 行。点A,B 是“六芒星”(如图2)的两个顶 点,动点P 在“六芒星”上(内部或边界上), 若OP→=xOA→+yOB→,则x+y 的取值范围 是