02 知面不熟熟面不透——谈向量投影的应用-《中学生数理化》高一数学2024年2月刊

———谈向量投影的应用 ■胡 丰 平面向量的数量积与向量投影是处理向 量运算的两个有力工具,下面就向量投影在 解决平面向量及其相关综合问题中的应用进 行举例分析。 一、投影向量与投影数量的求解 例1 已知向量a 与b 的夹角为 3π 4 ,且 |a|=2,|b|=3,则向量a在b方向上的投影 向量与投影数量分别是( )。 A. 2 3b ,2 B. 2 3b ,- 2 C.- 2 3b ,2 D.- 2 3b ,- 2 分析:利用投影数量的定义求a 在b 方 向上的投影数量;建立对应的数量积关系式, 求出参数的值,即可确定a 在b 方向上的投 影向量。 解:依题意得a 在b 方向上的投影数量 为|a|cos 3π 4=- 2 。 设a在b 方向上的投影向量为λb(λ∈ R),则 a·b=λb·b,所 以 λ= a·b b2 = |a|cos 3π 4 |b| =- 2 3 ,故a在b方向上的投影向 量为- 2 3b 。应选D。 正确理解投影向量与投 影数量这两个概念是解题的 关键。解题时,要明确区分“a 在b方向上 的投影”与“b在a方向上的投影”的差异, 且要熟练掌握向量投影的概念与对应的计 算公式。本题也可以直接利用投影向量公 式 计 算,即a 在b 方 向 上 的 投 影 向 量 为 |a|cos<a,b> |b| b 。 二、数量积的求解 例2 已知非零平面向量a 与b,满足 |b|=3,向量a在向量b 方向上的投影向量 为2b,则a·b= 。 分析:利用向量a 在向量b 方向上的投 影向量为2b构建关系式,结合数量积公式进 行分析与求解。 解:由向量a 在向量b 方向上的投影向 量为2b,结合投影数量得|a|cos<a,b>= 2|b|,所 以 a·b=|a||b|cos<a,b>= 2|b||b|=2|b|2=18。 若两个非零向量a,b 的 夹角为θ,且θ∈[0,π],那么 向量 a 在 向 量 b 方 向 上 的 投 影 向 量 为 |a|cosθ b |b|= |a| |b|cosθb ,a在b方向上的投 影数量为|a|cosθ。 三、数量积范围的确定 例3 已知 P 是边长为2的正六边形 ABCDEF 内一点,则 AP→·AB→ 的取值范围 是( )。 A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6) 分析:利用投影向量直接切入,通过数形 结合直观分析投影数量的取值范围,进而确 定数量积的取值范围。 解:设AP→ 与AB→ 的夹角为θ,则AP→ 在 AB→ 上的投影数量为|AP→|cosθ,如图1所 示。 图1 由图可知,|AP→|cosθ∈(-1,3),则AP→· AB→=|AB→||AP→|cosθ∈(-2,6),所以AP→· AB→ 的取值范围是(-2,6)。应选A。 5 知识结构与拓展 高一数学 2024年2月 根据平面向量自身“形” 的结构特征,通过向量投影的 定义进行直观处理,是解决平面向量数量积 的最值(范围)问题中比较特殊的一种技巧与 方法。 四、参数的应用 例 4 古 希 腊 数 学 家 特 埃 特 图 斯 (Theaetetus,约公元前417—公元前369)利 用如图2所示的直角三角形来构造无理数 2,3,5,…。已知 AB=BC=CD=1, AB⊥BC,AC⊥CD,AC 与BD 交于点O,若 DO→=λAB→+μAC→,则λ+μ=( )。 图2 A.2-1 B.1- 2 C.2+1 D.- 2-1 分析:根据题意,先求出OC 的长度,再 结合数量积的运算,通过投影从不同视角切 入,最后确定相应的参数值。 解:在△BCD 中,由AB=BC=CD=1, 可得∠DCB=90°+45°=135°,所以∠BDC =22.5°。 由tan45°= 2tan22.5° 1-tan222.5° =1,解 得 tan22.5°= 2-1(负值舍去),所以 OC= DC·tan22.5°= 2-1。由 DO→=λAB→+ μAC →,可得 DO→·DC→=λAB→·DC→+μAC→· DC→,注意 AB→ 与 DC→ 的夹角为45°,AC→ 与 DC→ 的夹角为90°,左边利用投影求数量积, 右边求数量积得|DC→| 2 =12=λ×1×1× 2 2 , 解得λ= 2。由 DO→·CO→=λAB→·CO→+ μAC →·CO→,注意 AB→ 与CO→ 的夹角为135°, AC→ 与CO→ 的夹角为180°,左边利用投影求数 量积,右边求数量积得|CO→| 2 =(2-1)2= λ×(2-1)× - 2 2 -μ× 2×(2-1), 结合λ= 2,可得μ=-1。 所以λ+μ= 2-1。应选A。 平 面 向