6.2.4组合数（1）课件-2023-2024学年高二下学期数学人教Ａ版(2019)选择性必修第三册

6.2.4 组合数 第六章　计数原理 2024/2/28 高二数学备课组 6.2.3 组合 1 引 入 我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示. 1.排列数的定义： 2.排列数的计算： （1）排列数公式(1)： （2）全排列数: （3）排列数公式(2)： 类比排列数，我们引进组合数概念： LOGO 2 探究新知 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示. 组合的第一个字母 元素总数 取出元素数 m，n所满足的条件是： (1) m∈N*，n∈N* ； (2) m≤n . 例如，从3个不同元素中任取2个元素的组合数为 从4个不同元素中任取3个元素的组合数为 符号 中的C是英文combination(组合)的第一个字母. 组合数还可以用符号 表示. 1.组合数的概念： “一个组合”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数； “组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个非零自然数. 组合与组合数的区别： LOGO 3 探究新知 思考： 问题1 前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数 来求组合数 呢? 3个不同元素a, b, c中取出2个共有ab, ac, bc 3个不同的组合， 4个不同元素a, b, c, d中取出3个共有abc, abd, acd, bcd 4个不同的组合， 4个不同元素a, b, c, d中取出3个元素的排列数为 3个不同元素a, b, c中取出2个元素的排列数为 下面我们就来探究 LOGO 4 探究新知 从3个不同元素a, b, c中取出2个元素 从4个不同元素a, b, c, d中取出3个元素 组合 ab 排列 ac bc ab ba ac ca bc cb 由此可得 组合 abc 排列 abd acd abc acb bac bca cab cba abd adb bad bda dab dba acd adc cad cda dac dca bcd bcd bdc cbd cdb dbc dcb 由此可得 LOGO 5 探究新知 组合和排列的关系 n个不同元素 m个元素 m个元素的全排列 第一步 组合 第二步 排列 因此组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果. 问题2 通过以上例子，你能归纳排列和组合之间的对应关系吗？ 一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分为以下2步： 第2步，将取出的m个元素作全排列，共有种不同的排法. 根据分步计数原理，得到： 第1步，从n个不同元素中取出m个元素，共有种不同的取法； LOGO 6 探究新知 这里的n, m∈N*，并且m≤n，这个公式叫做组合数公式. 另外，我们规定 所以上面的公式还可以写成 2.组合数公式： LOGO 7 例题讲解 解： 例6 计算： 性质1 问题3 分别观察例中(1)与(2), (3)与(4)的结果，你有什么发现和猜想？ LOGO 8 探究新知 3.组合数的性质： 性质1 证明： 直观解释： 该性质反映了组合数的对称性. 其组合意义是从n个不同的元素中任取m个元素的组合与任取(n-m)个元素的组合是一一对应(一种取法对应一种剩法). 因为从n个不同元素中取出m个元素后，就剩下(n-m)个元素，因此从n个不同元素中取出m个元素的方法，与从n个不同元素中取出(n-m)个元素的方法是一一对应的，因此取法是一样多的，就是说从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，都对应着从n个不同元素中取出(n-m)个元素的唯一的一个组合，反过来也一样. 即从n个不同元素中取出m个元素的组合数 等于从n个不同元素中取出(n-m)个元素的组合数 ，也就是 . LOGO 9 探究新知 性质2 3.组合数的性质： 该性质也可以根据组合数的定义与分类加法计数原理直接得出，在确定从(n+1)个不同元素中取m个元素的方法时，对于某一元素，只存在着取与不取两种可能. 如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出(m-1)个元素，所以共有 种取法；如果不取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出m个元素，所以共有 种取法. 由分类加法计数原理，得 . 直观解释： LOG