1.1等腰三角形 第4课时 课件 2023-2024学年北师大版八年级数学下册

1.1 等腰三角形 第一章 三角形的证明 第4课时 等边三角形的判定及含 30° 角的 直角三角形的性质 新课导入 1.等腰三角形的性质和判定定理是什么？ 2.等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等边三角形呢？ 新课探究 一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流. 一个三角形满足什么条件就是等边三角形? 由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理： 1. 三个角都相等的三角形是等边三角形； 2. 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形. 你能证明这些结论吗？ 等边三角形的判定 A B C 已知：如图，∠A =∠B =∠C. 求证：AB = AC = BC. ∵∠A =∠ B， ∴ AC = BC. ∵∠B =∠C， ∴ AB = AC. ∴ AB = AC = BC. 证明： 定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形. www.czsx.com.cn 定理2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形. A B C 已知：若 AB＝AC，∠A＝60°. 求证：AB＝AC＝BC. 证明：∵ AB = AC，∠A = 60°， ∴∠B =∠C = (180°－∠A) = 60°. ∴∠A =∠B =∠C. ∴ AB = AC = BC. 证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？ www.czsx.com.cn 证明：∵ AB = AC，∠B = 60° (已知)， ∴∠C =∠B = 60° (等边对等角). ∴∠A = 60° (三角形内角和定理). ∴∠A =∠B =∠C = 60°. ∴△ABC 是等边三角形 (三个角都相等的三角形是等 边三角形). 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 60°． 求证：△ABC 是等边三角形． 第二种情况：有一个底角是 60°. A C B 60° 【验证】 www.czsx.com.cn 定理 三个角都相等的三角形是等边三角形. 定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 等腰三角形(含等边三角形) 性质 判定 等边对等角 等角对等边 “三线合一”，即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合 有一角是 60° 的等腰三角形是等边三角形 等边三角形三个内角都相等，且每个角都是 60° 三个角都相等的三角形是等边三角形 归纳总结 例1 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC， 求证：△ADE 是等边三角形. A C B D E 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C. ∵ DE∥BC， ∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C. ∴∠A =∠ADE =∠AED. ∴△ADE 是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 典例精析 变式：上题中，若将条件 DE∥BC 改为 AD＝AE， △ADE 还是等边三角形吗? 试说明理由. A C B D E 已知：如图，在等边三角形 ABC 中，AD ＝ AE. 求证：△ADE 是等边三角形. 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°. ∵ AD＝AE， ∴△ADE 是等腰三角形. ∴△ADE 是等边三角形. 又∵∠A＝60°. 做一做 用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗? 操作：用两个含有 30° 角的三角板， 你能拼成一个怎样的三角形？ 30° 30° 你能说出所拼成的三角形的形状吗？ 猜想：在直角三角形中，30° 角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？ 30° 30° 30° 合作探究 30° 30° 结论：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半. 含30°角的直角三角形的性质 已知：如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，∠A = 30°. 求证： BC = AB. A 30° B C 分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题 转 化 “线段相等”问题 猜想验证 30° 30° 提示：证明等边三角形 已知：如图在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠BAC = 30°. 求证：BC = AB. 1 2 A B C 证明：延长 BC 至 D，使 CD = BC，连接 AD. ∵∠ACB = 90°∴∠ACD = 90° ∵AC = AC，∴△ABC ≌ △ADC（SAS）. ∴AB = AD（全等三角