精品解析：北京市第九中学2023-2024学年中高二下学期开学考试数学试题

2024北京九中高二（下）开学考 数学 （考试时间120分钟 满分150分） 一、单选题（共80分） 1. 已知平面与平面为两个不同的平面，与为两条不重合的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C 若，，则 D. 若，，则 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线C的焦点在y轴上，且其中一条渐近线的方程为，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别为AB，CD的中点，EF=，则AD与BC所成的角为(　　) A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 6. 如果圆关于直线对称，那么（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 若直线l：4x+3y＝0与圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+t＝0相切，则圆C的标准方程为（　 　） A. （x﹣1）2+（y﹣2）2＝4 B. （x﹣1）2+（y﹣2）2＝8 C. （x﹣1）2+（y﹣2）2＝9 D. （x﹣1）2+（y+2）2＝4 9. 如图，在三棱锥中，和均为正三角形，，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A B. C. D. 10. 已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的离心率等于（ ） A. B. C. D. 11. 设为直线上任意一点，过总能作圆的切线，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 12. 首位数字是1，且恰有两个数字相同的四位数共有（ ）个. A 216个 B. 252个 C. 324个 D. 432个 13. 在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是x2＝4y，圆的半径为r，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O，则圆的半径r的取值范围是（ ） A. （2，＋∞） B. （1，＋∞） C D. [1，＋∞） 14. 九章算术中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图）．现提供一种计算“牟合方盖”体积的方法．显然，正方体的内切球同时也是“牟合方盖”的内切球．因此，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，该平面截内切球得到的是上述正方形截面的内切圆．结合祖暅原理，两个同高的立方体，如在等高处的截面积相等，则体积相等．若正方体的棱长为6，则“牟合方盖”的体积为（ ） A. 144 B. C. 72 D. 15. 如图，在正方体中，点分别是棱上的动点．给出下面四个命题 ①直线与直线平行； ②若直线与直线共面，则直线与直线相交； ③直线到平面的距离为定值； ④直线与直线所成角的最大值是． 其中，真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆.半椭圆（，且为常数）和半圆组成的曲线D如图2所示，曲线D交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点C，点是半圆上任意一点，当点的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共25分） 17. 过点，圆心为的圆的标准方程是______. 18. 的展开式中常数项是___________（用数字作答）. 19. 直线经过点，且点到的距离为，则直线的方程为______． 20. （图1）庑殿顶是中国古代建筑一种官式建筑，而且等级是最高的，如故宫的英华殿．它屋面有四面坡， 前后坡屋面全等且相交成一条正脊，两山屋面全等与前后屋面相交成四条垂脊．由于屋顶四面斜坡， 也称“四阿顶”；（图2）是庑殿顶的顶盖几何模型图，底面是矩形，若四个侧面与底面所成的角均相等， 已知，则_______________ 21. 如图，正方体的棱长为，点是平面内的动点， ，分别为的中点，若直线与直线所成的角为，且，则动点的轨迹所围成的图形的面积为______． 三、问答题（共45分） 22. 如图，抛物线的顶点在坐标原点，圆的圆心是抛物线的焦点，直线过抛物线的焦点且斜率为2，直线交抛物线和圆依次于四点． （1）求抛物线的方程； （2）求的值． 23. 如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）若，二面角的大小为，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知.求的长. 条件①