第一章 特殊平行四边形－－特殊平行四边形间的关系综合应用素养训练 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

北师版 九年级上 第一章 特殊平行四边形 特殊平行四边形间的关系 综合应用素养训练 【母题：教材P7习题T1】如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD，BE，BC于点P，O，Q，连接BP，EQ. 1 2 (1)求证：四边形BPEQ是菱形； 3 ∴△BOQ≌△EOP(ASA)．∴QB＝PE. ∵BC∥AD，∴四边形BPEQ是平行四边形． 又∵QB＝QE， ∴四边形BPEQ是菱形． 4 (2)若AB＝6，F为AB的中点，OF＋OB＝9，求PQ的长. 5 6 【2023·遵义】将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示的方式摆放，顶点D与顶点H重合，菱形EFGH的对角线HF经过点B，点E，G分别在AB，BC上. 2 (1)求证：△ADE≌△CDG； 证明：∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGH是菱形，菱形EFGH的对角线HF经过点B， ∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADB＝∠CDB， ∠EDB＝∠GDB. ∴∠ADB－∠EDB＝∠CDB－∠GDB， 即∠ADE＝∠CDG. (2)若AE＝BE＝2，求BF的长. 解：如图，过点E作EQ⊥DF于点Q，则∠EQB＝90°. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝90°，AD＝AB＝AE＋BE＝2＋2＝4， ∠EBQ＝∠CBD＝45°. ∴∠QEB＝45°＝∠EBQ. ∴EQ＝BQ. 11 【2023·天大附中月考】如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交对角线AC于点M，ME⊥AB，MF⊥BC，垂足分别是E，F，判定四边形MEBF的形状，并证明你的结论. 3 解：四边形MEBF是正方形．证明如下： ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°. ∵ME⊥AB，MF⊥BC，∴∠MEB＝∠MFB＝90°. ∴四边形MEBF是矩形． 又∵BM是∠ABC的平分线， ∴ME＝MF.∴矩形MEBF是正方形． 【探究题】如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F. 4 (1)探究OE与OF的数量关系并加以证明. 解：OE＝OF. 证明如下：∵MN∥BC， ∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF. 又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO， ∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF. ∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC. ∴EO＝CO，FO＝CO.∴OE＝OF. (2)连接BE，当点O在边AC上运动时，四边形BCFE能否为菱形？若能，请证明；若不能，请说明理由. (3)连接AE，AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由. 解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形． 理由：当点O运动到AC的中点时，AO＝CO. 又∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形． ∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO. ∴AO＋CO＝EO＋FO，即AC＝EF. ∴四边形AECF是矩形． (4)在(3)的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由. 解：当点O运动到AC的中点，且△ABC是以∠ACB为 直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形． 理由：由(3)知，当点O运动到AC的中点时，四边形 AECF是矩形． 已知MN∥BC，当∠ACB＝90°时，∠AOE＝∠ACB＝ 90°，∴AC⊥EF.∴矩形AECF是正方形． 【点拨】 解决条件探索题，先将结论作为条件去分析此结论成立时应具备的条件，然后补充此条件，推理证明此结论成立． 20 证明：∵PQ垂直平分BE，∴QB＝QE，OB＝OE. ∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD. ∴∠QBO＝∠PEO. 在△BOQ和△EOP中， 解：∵O，F分别为BE，AB的中点， ∴AE＋BE＝2OF＋2OB＝18. 设AE＝x，则BE＝18－x. 在Rt△ABE中，62＋x2＝(18－x)2， 解得x＝8，则BE＝18－x＝10. ∴OB＝BE＝5. 设PE＝y，则AP＝8－y，BP＝PE＝y. 在Rt△ABP中，由勾股定理得62＋(8－y)2＝y2， 解得y＝. 在Rt△BOP中，PO＝＝， ∴PQ＝2PO＝. 在△ADE和△CDG中， ∴△ADE≌△CDG(SAS)． 由BE＝2，易得EQ＝BQ＝. 在Rt△DAE中，由勾股定理得DE＝＝ ＝2. ∵四边形EFGH是菱形，∴EF＝DE＝2. ∴QF＝＝＝3. ∴BF＝QF－QB＝3－＝2. 解：不能为菱形． 理由如下：如图，连接BF，交EC于点G. ∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ECF＝∠ACB＋∠ACD＝(∠ACB＋∠ACD)＝90°. 若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，在△GFC中，不可能存在两个角为90°， ∴四边形B