第一章 特殊平行四边形-全章热门考点整合应用 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

全章热门考点整合应用 北师版 九年级上 第一章 特殊平行四边形 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．求证： 1 2 (1)四边形ADEF是平行四边形； 证明：∵点D，E分别是AB，BC的中点， ∴DE∥AC. 同理可得EF∥AB， ∴四边形ADEF是平行四边形． 3 (2)∠DHF＝∠DEF. 4 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA，DC的延长线分别交于点E，F，连接BF，DE. 2 (1)求证：AE＝CF； (2)请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由. 解：当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形． 理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD. ∵△AOE≌△COF，∴OE＝OF. ∴四边形BFDE是平行四边形． ∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形．(答案不唯一) 【2023·六盘水】如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD． 3 (1)求证：△ABE≌△CDF； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D，AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD. (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是矩形？请写出证明过程. 解：当△ABC满足AB＝AC时，四边形AECF是矩形， 理由如下：由(1)可知，∠CAE＝∠ACF，∴AE∥CF. ∵△ABE≌△CDF，∴AE＝CF， ∴四边形AECF是平行四边形． 又∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°，∴平行四边形AECF是矩形． 【2023·重庆一中模拟】如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD相交于点H. 4 (1)求证：AD⊥EF. (2)△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？说明理由. 解：△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正 方形． 理由：∵∠AED＝∠AFD＝∠BAC＝90°， ∴四边形AEDF是矩形． ∵EF⊥AD，∴矩形AEDF是正方形． 【母题：教材P19习题T4】如图，在矩形ABCD中， AB＝10，BC＝5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处．求阴影部分的周长. 5 解：∵在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5， ∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝5. 又∵将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处， ∴根据轴对称的性质可得A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF. 设线段D1F与线段AB交于点M，则阴影部分的周长为 (A1E＋EM＋MD1＋A1D1)＋(MB＋MF＋FC＋CB)＝AE＋EM＋MD1＋AD＋MB＋MF＋FC＋CB＝(AE＋EM＋ MB)＋(MD1＋MF＋FC)＋AD＋CB＝AB＋(FD1＋FC)＋ 10＝AB＋(FD＋FC)＋10＝10＋10＋10＝30. 6 18 【点拨】 根据正方形的性质可证△DOM≌△CON，进而发现四边形MOND的面积等于△DOC的面积，从而求得正方形ABCD的面积，即可求出AB的长． 【答案】C 19 【母题：教材P19习题T5】如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于点E，OF⊥AD于点F. 7 (1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积． (2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由． (3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC的内部，∠BOC＝90°，OB＝OC，D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点. 8 (1)求证：四边形DEFG是矩形； 证明：如图，连接AO并延长交BC于点H. ∵AB＝AC，OB＝OC， ∴AH是BC的垂直平分线， 即AH⊥BC. ∵D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点， ∴DG∥EF∥BC，DE∥AH∥GF. ∴四边形DEFG是平行四边形． ∵EF∥BC，AH⊥BC，∴AH⊥EF. 又∵DE∥AH，∴EF⊥DE. ∴四边形DEFG是矩形． (2)若DE＝2，EF＝3，求△ABC的面积. 【2023·天津南开中学模拟】如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，P是BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F.求证：PA＝EF. 9 【点拨】 连接PC，由矩形的对角线相等得PC＝EF，从而将问题转化为证明PA＝PC.