5.5.1两角和差的余弦公式讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.5.1 三角恒等变换 ——第一课时 两角和与差的余弦公式 1. 已知两角的正余弦，求和、差角的余弦 2. 求15°等特殊角的余弦 3. 用和、差角的余弦公式化简求值 4. 逆用和、差角的余弦公式化简求值 基本公式： 公式 简写 范围 为任意角 为任意角 注意： 其中不一定是单独某个角，也可能为多项式，需要灵活变通，例如：，可以理解成，= 公式变形： (1)逆用：cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)． (2)角变换后使用cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ. (3)移项使用cosαcosβ＝cos(α－β)－sinαsinβ；sinαsinβ＝cos(α－β)－cosαcosβ. 常用技巧： 1. 当，可得： 2. 当，可得： 3. 已知同角的正弦或者余弦，可以借助+=1，算出对应的三角函数，但记得看角的范围！！！！ 1、 已知两角的正余弦，求和、差角的余弦 【例1】 【例2】cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°= 2、 求15°等特殊角的余弦 【例1】cos 15°的值是________． 【例2】cos75°= 【例3】cos165°= 3、 用和、差角的余弦公式化简求值 1 已知简单角求复杂角的余弦值做题方法： （1）借助范围分别求出两个角的正弦值与余弦值 （2）带入公式求值 【例1】已知，是第三象限角，求的值. 【例2】若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是(　　) A．－ B. C. D. 注意事项： 注意的大小范围，求出的正弦值和余弦值要确定正负 2 已知简单角求复杂角的值做题方法： （1） 写出的确切范围，求出对应的三角函数 （2） 求出所需角的范围，根据求出的三角函数正负，判断角的确切值，一般很少两个答案。 【例3】已知α、β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，则α－β的值为________． 【例4】已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，求α－β的值． 0注意事项： （1）注意的确切范围，防止三角函数正负出错 （2）求出所需角的范围，判断角的确切值，一般很少两个答案。 （3）两个角的差，例如α-β，求范围时不能直接把两角的不等式相减，要先求相反数-β的范围，再把两个角范围相加 3 已知复杂角求复杂角的余弦值做题方法： （1） 写出已知角和所求角的等式 （2） 对应带入要求的三角函数公式 （3）求出复杂角的确切范围，求出对应的三角函数 【例5】已知tan α＝4，cos(α＋β)＝－，α、β均为锐角，求cos β的值． 【例6】已知sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，且α－β∈，α＋β∈，求cos 2β的值 4 已知复杂角求复杂角的值 【例7】若cos(α－β)＝，cos 2α＝，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为(　　) A. B. C. D. 【例8】已知cos(α－β)＝－，sin(α＋β)＝－，<α－β<π，<α＋β<2π，求β的值． 注意事项： （1）写出已知角和所求角的等式，其中涉及到角的加减法，还可能涉及到等 （2）对应带入要求的三角函数公式化简，其中角的加减法（用两角和差公式），还可能涉及到等（用诱导公式） （3）求出复杂角的确切范围，求出对应的角，如果求出角存在两个，则需要看看已知角范围是否要缩小，这个在后面会详细解说 4、 逆用和、差角的余弦公式化简求值 1 简单的公式逆用 【例1】cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝(　　) A．－ B. C．0 D．1 【例2】化简cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α得(　　) A．cos α B．cos β C．cos(2α＋β) D．sin(2α＋β) 2 借助逆用求余弦值做题方法： （1） 看到或者 ，可以考虑平方（可能 会出现两个三角函数的乘积） （2） 再用公式逆用求余弦值即可 【例3】若cos(α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________. 【例4】已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________． 【例5】若sin α＋sin β＝1－，cos α＋cos β＝，则cos(α－β)的值为(　　) A. B．－ C. D．1 .. 学科网（北京）股份有限公司 $$