8.6.3 平面与平面垂直 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面与平面垂直 1.理解 “二面角”、“二面角的平面角”及“直 二面角”、“两个平面互相垂直”的概念. 2.掌握两个平面垂直的判定定理并能进行简单应用. （重点） 3. 理解转化思想在数学问题解决上的作用．（难点） 水平面 水坝 观察1：水坝在修建的时候，为了坚固耐用，水坝的坡面与水平面要成一个适当的角度。 观察2：当我们把教室的门打开到一定位置，门所在的面与墙所在的面也形成一个角。 这些角就是两个面所成的角 半平面 半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面。 半平面 探究点1 二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记为：二面角 简记： 二面角的定义 二面角的棱 二面角的面 思考1 我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些，我们应该怎么刻画二面角的大小？ 二面角的 平面角 注意： （1）二面角的平面角必须满足： 3）角的边都要垂直于二面角的棱 1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 10 二面角的平面角 （2）二面角θ的取值范围为： [0°，180°] 二面角的平面角 θ β 平面角的大小与棱上点的选取无关. 只与两平面的位置有关 D 顶点 中点 例1 如图，在在正方体ABCD-A1B1C1D1及正三棱锥S-ABC中，找出相应二面角的平面角 典例精析 变式训练 1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角C1-AB-C的平面角 解：∵ABCD-A1B1C1D1为正方体 ∴A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B ∴A1B1⊥平面BCC1B1 又∵AB//A1B1 ∴AB⊥平面BCC1B1 ∴AB⊥C1B 又∵CB⊥AB，C1B∩CB=B ∴∠C1BC为二面角C1-AB-C的平面角 在Rt△C1BC中，∠C1BC=45° 则二面角C1-AB-C的平面角为45° 顶点 求二面角的步骤: 1、找(作)出二面角的平面角; 2、证明找到角就是二面角的平面角; 3、求出此平面角的大小。 一“找”二“证”三“求” 关键：确定二面角的平面角. α P 思考3 教室的相邻两面墙与地面可以构成几个二面角？分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及度数？ 探究点2 平面垂直 平面角是直角的二面角叫做直二面角 α β B A D 　　一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作α⊥β 平面与平面垂直的定义 β α α β 注意：把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直. 图形表示 建筑施工时，为了保证墙面是竖直的，常使用铅锤来检测，这是什么道理呢？ 思考4 如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？ 抽象出平面与平面垂直的判定 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 符号语言: 线面垂直 面面垂直 平面与平面垂直的判定定理 图形语言： 转化思想 简记： 典例精析 例2如图,在正方体 中， 求证： 分析： （1）图中有哪些直线互相垂直？ （2）图中有哪些直线与平面垂直？ （3）谁来展示证明 的步骤？ 例3 如图,AB是圆O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点。 求证：平面PAC⊥平面PBC. 分析：找出在一个面内与另一个面垂直的两条相交直线. 进而说明面面垂直 典例精析 设⊙O所在平面为α， 由已知条件，有PA⊥α，BC在α内， ∴PA⊥BC， ∵点C是圆周上不同于A，B的任意一点， ∴∠BCA＝90°， 即BC⊥CA. 证明： 又∵ PA∩AC=A， ∴ BC⊥平面PAC. 又∵BC在平面PBC内， ∴平面PAC⊥平面PBC. 线线垂直 线面垂直 面面垂直 2、在四面体ABCD中，∠ABC=90°，且PA=PB=PC 求证：平面PAC⊥平面ABC 变式训练 E F 取AC,BC的中点 O 证明三角形全等（sss） 二面角 定义 度量方法 直二面角 平面角 两平面垂直 面面垂直的判定定理 (1)判定面面垂直的两种方法： ①定义法 ②根据面面垂直的判定定理 (2)数学思想：转化思想 线线垂直 线面垂直 面面垂直 作业布置 1.完成