7.4 ：认识三角形（第二课时）讲义 2023--2024学年苏科版七年级数学下册

认识三角形（提高）知识讲解 【典型例题】 类型一、三角形的概念及表示 1．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则下图中以BC为公共边的“共边三角形”有（ ）． A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 【思路点拨】对比三角形的相关概念分析和思考． 【答案】B 【解析】以BC为公共边的“共边三角形”有：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC三对． 【总结升华】根据新定义和已学过的知识，全面准确的识图． 举一反三： 【变式】根据下图所示的形⑴、⑵、⑶三个图所表示的规律，依次下去第n个图中的三角形的个数是( ) ． A．6(n-1) B．6n C．6(n+1) D．12n 【答案】C 类型二、三角形的三边关系 2. 在△ABC中，AB=9，AC=2，并且BC的长为偶数，求△ABC的周长． 【答案与解析】 解：根据三角形的三边关系得： 9﹣2＜BC＜9+2， 即7＜BC＜11， ∵BC为偶数， ∴AC=8或10， ∴△ABC的周长为：9+2+8=19或9+2+10=21． 【总结升华】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系，还要注意第三边是偶数这一条件． 举一反三： 【变式】三角形的三边长为2，x-3，4，且都为整数，则共能组成　　　　 个不同的三角形.当x为　　　　 时，所组成的三角形周长最大. 【答案】三；8 (由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，有4-2<x-3<4+2，解得5<x<9，因为x为整数，故x可取6，7，8；当x=8时，组成的三角形周长最大为11). 3.如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC． (1)你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗? (2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗? 【答案与解析】 解：(1)如图，延长BO交AC于点E，根据三角形的三边关系可以得到， 在△ABE中，AB+AE＞BE； 在△EOC中，OE+EC＞OC， 两不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC． 由图可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE． 所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC． (2)因为OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7． 又因为OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11． 【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题． 举一反三： 【变式】若五条线段的长分别是1cm、2cm、3cm、4cm、5cm,则以其中三条线段为边可构成______个三角形. 【答案】3. 类型三、三角形中的重要线段 4.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长． 【思路点拨】因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以AD＝CD，造成两部分不等的原因是BC边与AB、AC边不等，故应分类讨论． 【答案与解析】 解：如图(1)，设AB＝x，AD＝CD＝． (1)若AB+AD＝12，即，所以x＝8， 即AB＝AC＝8，则CD＝4．故BC＝15-4＝11． 此时AB+AC＞BC，所以三边长为8，8，11． (2)如图(2)，若AB+AD＝15，即，所以x＝10． 即AB＝AC＝10，则CD＝5．故BC＝12-5＝7． 显然此时三角形存在，所以三边长为10，10，7． 综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7． 【总结升华】BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，问题中没有交代，因此，必须进行分类讨论． 举一反三： 【变式】如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线． （1）猜想：△ABD与△ADC的面积有何关系？并简要说明理由； （2）在△BED中作BD边上的高； （3）若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高为多少？ 【答案】 解：（1）△ABD与△ADC的面积相等，理由如下： 作AF⊥BC，如图1： 因为BD=DC，AF=AF， 所以△ABD与△ADC的面积相等； （2）作图，如图2： （3）因为△ABC的面积为40，BD=5， 所以△ABD的面积为20， 因为BE为△ABD的中线， 所以△BDE的面积为10， 所以△BDE中BD边上的高为4． 类型四、三角形的稳定性 5. 如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？ 【答案与解析】 解：这种衣帽架能收缩是利用四