2024年九年级中考数学复习11：圆 讲义

中考数学复习11：圆 知识集结 知识元 圆 知识讲解 圆的定义及有关概念 1.圆的定义： (1)形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫圆心，线段OA叫做半径. (2)描述性定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦. 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，弧可分为优弧、劣弧、半圆三类. 2.圆的对称性： (1)轴对称性：圆是轴对称图形，有无数条对称轴，过圆心的直线都是它的对称轴. (2)中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 垂径定理及推论 1.垂径定理：垂直于弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 2.推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 【注意】 垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦；(3)平分弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用. 3.圆中常作的辅助线是过圆心作弦的垂线. 4.垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个. 圆心角、弧、弦之间的关系 1.圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角. 2.定理：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等它们所对应的其余各组量也分别相等. 圆周角定理及其推论 1.圆周角定义：顶点在圆上并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 2.圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧相等. 推论2：半圆（或直弦）所对的圆周角是直角， 900的圆周角所对的弦是直径. 圆内接四边形 1.定义：如果一个四边形的所有顶点都在圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆. 2.性质：圆内接四边形的对角互补，外角等于内对角. 点与圆的位置关系 1.点与圆的位置关系： 设点与圆心的距离为，圆的半径为，则 点在圆外； 点在圆上； 点在圆内． 2.过三点的圆： （1）过不在同一直线上的三点有且只有一个圆． 一个三角形有且只有一个外接圆； （2）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点； （3）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等． 直线与圆的位置关系 1.直线和圆三种不同位置关系及相关概念 直线和圆的位置关系 直线名称 公共点名称 公共点个数 d与r的大小关系 相交 割线 　 2个 d<r 相切 切线 切点 1个 d=r 相离 　 　 无 d>r 2.代数表示： 设圆心到直线的距离为，圆的半径为. 直线和圆的位置关系，由与的大小关系确定： 直线AB和⊙O相交； 直线AB和⊙O相切； 直线AB和⊙O相离. 切线的判定与性质 1.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线. 2.切线的性质定理：圆的切线垂直与经过切点的半径. 3.注意： （1）由切线的性质定理和判定定理可知：圆的切线经过半径外端并且垂直于半径.即切线与垂直是密不可分的，在解决与切线有关问题时，经常要用到垂直或90°的角. （2）切线的判定通常有两种常见的题型：A.过半径，证垂直；B.作垂直，证半径. 切线长定理 1.切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. 2.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心这点的连线平分两条切线的夹角. 3.几何语言表达： ∵PA、PB是的两条切线 ∴PA=PB，PO平分∠BPA 4.三角形的内切圆：如果一个圆与三角形的三条边都相切，这个圆叫做三角形的内切圆，三角形叫圆的外切三角形，圆心叫做这个三角形的内心. 5.三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离都相等. 圆中求角度的方法 1.利用切线的性质倒角 圆的切线垂直于经过切点的半径，故切线的性质可以为倒角提供直角（90°角）的已知条件，如果该角在直角三角形中，则根据三角形内角和可以得出另外两个内角之和是90°. 2.利用圆中相关的性质倒角 （1）垂径定理倒角：垂径定理构造的模型，是一个标准的对称结构，在对称轴两侧，对应的角都是相等的，能够为几何证明和计算提供相等的角度. （2）圆心角、弧、弦关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 【注意】正确理解和使用圆心角、弧