2024年中考数学复习讲义10：四边形

中考数学复习10:四边形 知识集结 知识元 四边形 知识讲解 平行四边形的认识及平行四边形的性质 1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.平行四边形用符号“”表示; 几何语言: (1)∵AB∥CD,AD∥CB, ∴四边形ABCD是平行四边形; (2)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AD∥CB 2.平行四边形的面积公式:S=a h (a表示平行四边形的底,h表示这个底所对应的高) 3.平行四边形的对称性:平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点;平行四边形不一定是轴对称图形. 4.平行四边形的性质: (1)平行四边形的对边平行且相等; (2)平行四边形的对角相等; (3)平行四边形的对角线互相平分. 5.平行线之的距离:两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离. 平行四边形的判定 1.平行四边形的判定: (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形; (2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形; (3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形; (4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形. 2.三角形的中位线: (1)连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线; (2)三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半. 矩形 1.定义:有一个角是90 的平行四边形叫矩形. 2.性质: (1)矩形的四个角都是直角. (2)矩形的对边平行且相等. (3)矩形的对角线互相平分且相等. 3.判定: (1)有一个角是90 的平行四边形叫矩形. (2)有三个角是直角的四边形是矩形. (3)对角线互相平分且相等的四边形是矩形. (4)对角线互相平分的平行四边形是平行四边形. 4.直角三角形斜边中线的性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 菱形 1.定义:有一组邻边相等的平行四边形叫菱形. 2.性质: (1)菱形具有平行四边形所具有的所有性质. (2)菱形的四条边都相等. (3)菱形的对对角线互相垂直平分,且每条对角线平分一组对角. 3.菱形的面积公式:S=ah=mn(a、h分别为菱形的底、底对应的高;m、n为菱形的对角线) 4.菱形的判定: (1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形; (2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形; (3)对角线互相垂直平分的四边形是菱形. 正方形 1.定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 2.性质: (1)正方形的四条边都相等,四个角都是直角; (2)正方形的两条对角线相等,互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对角; (3)正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. (4)两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形,同时,正方形又是轴对称图形,有四条对称轴. 3.判定: (1)先判定四边形是矩形,再判定这个矩形有一组邻边相等; (2)先判定四边形是菱形,再判定这个菱形有一个角为直角; (3)还可以先判定四边形是平行四边形,再用(1)或(2)进行判定. 四边形中的有关计算 四边形中档解答题所考查知识点相对稳定,主要考查学生对所学四边形、相似、解直角三角形等内容的综合应用能力和计算能力. 例题精讲 四边形 例1. (2022∙柳州)平行四边形的其中一个判定定理是:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.请你证明这个判定定理. 已知:如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明: 例2. (2022∙哈尔滨)已知:在矩形ABCD中,BD是对角线,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F. (1)如图1,求证:AE=CF; (2)如图2,当∠ADB=30 时,连接AF、CE,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四个三角形,使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的. 例3. (2022∙贺州)如图,在矩形ABCD中,E,F分别是BC,AD边上的点,且AE=CF. (1)求证: ABE≌ CDF; (2)当AC⊥EF时,四边形AECF是菱形吗?请说明理由. 例4. (2022∙新疆)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是CD中点,连接OE.过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F,连接DF. 求证:(1) ODE≌ FCE; (2)四边形OCFD是矩形. 例5. (2022∙北京)如图,在菱形ABCD中,AC为对角线,点E,F分别在AB,AD上,BE=DF,连接EF. (1)求证:AC⊥EF; (2)延长EF交CD的延长线于点G,连接BD交AC于点O.若BD=4,tanG=,求AO的长. 例6. (2022∙鄂尔多斯)如图,在正方形ABCD的外侧,作等边 ABE