10.2 分式的基本性质与运算 五大题型-2023-2024学年苏科版八年级数学下册

苏科版-八年级下册分式的基本性质与运算五大题型分式的基本性质求值-整体法类型一 分式的基本性质求值-倒数法类型二 分式的化简求值类型三 阅读材料题类型四 新定义和规律题类型五 类型一 分式的基本性质求值-整体法 例题1．已知，则代数式的值为（ ） A． B． C． D． 练习1.若3，则分式的值为　 　． 练习2.若，且，则的值为（ ） A．1 B．2 C．0 D．不能确定 练习3.如果，那么的值等于 A． B． C． D． 类型二 分式的基本性质求值-倒数法 例题2.如果x3，则的值等于　 　 练习1.若，则=________. 练习2.已知关于x的方程x2﹣5x﹣1＝0，求： （1）的值． （2）的值． 练习3.已知，，，则x的值为　 　． 类型三 分式的化简求值 例题3．先化简，再求值：，其中． 练习1．已知x2﹣x﹣1＝0，计算的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 练习2.先化简，在求值：，再从﹣1、0、1三个数中选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 练习3.先化简，再求值：其中a的值在﹣1≤a≤3的整数中选出一个合适的值． 练习4．解不等式组，并求出它的整数解，再化简代数式•（﹣），从上述整数解中选择一个合适的数，求此代数式的值． 类型四 阅读材料题 例题4．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：＝1+．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式，如：＝＝+＝1+；＝＝+＝x+2+． （1）将假分式、分别化为整式与真分式的和的形式； （2）如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． 练习1.著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：＝＝x+＝x﹣1+，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式x﹣1的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）假分式可化为带分式　 　形式； （2）利用分离常数法，求分式的取值范围； （3）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，则m2+n2+mn的最小值为　 　． 练习2．阅读下面材料，解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如：不等式＞0，＜0等，如何求出它们的解集呢？ 根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为： （1）若a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，则＞0； （2）若a＞0，b＜0或a＜0，b＞0，则＜0． 反之： （3）若＞0，则或． （4）若＜0，则 　 　或 　 　．（请完成填空） （5）根据上述规律： ①求不等式＞0的解集； ②若分式的值为正数，求x的取值范围； ③直接写出分式不等式＞的解集． 练习3．（1）自习课上，小明遇到了下面一道题，刚做了两步，就去辅导同学做题了，请你把小明的解题过程补充完整： 已知不论x取何值，分式总有意义，求m的取值范围． 解：＝＝． （2）利用小明的思路，解决下列问题：无论x取何实数，分式 都有意义，求m的取值范围。 类型五 新定义和规律题 例题5．定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”． （1）下列3组分式： ①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有 　 　（只填序号）； （2）若正实数a，b互为倒数，求证：分式与属于“友好分式组”； （3）若a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值． 练习1．观察下列各等式：，，…根据你发现的规律，计算：＝　 　（n为正整数）． 练习2．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：