考点25对数运算及对数函数专题讲义-2024届新高考艺体生数学一轮复习

考点25 对数运算及对数函数 一．对数及运算公式 概念 如果ax＝N(a>0，a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．其中a叫做对数的底数，N叫做真数 性质 底数的限制：a>0，且a≠1 对数式与指数式的互化：ax＝N⇒logaN＝x 负数和零没有对数 1的对数是零：loga1＝0 底数的对数是1：logaa＝1 对数恒等式：alogaN＝N 运算性质 loga(M·N)＝logaM＋logaN a>0，且a≠1，M>0，N>0 loga＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM(n∈R) 换底公式 公式：logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0) 推广：logambn＝logab；logab＝ 2． 对数函数 1.对数的概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). 2.y＝logax的3个特征 （1）底数a>0，且a≠1(2)自变量x>0(3)函数值域为R 三．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与性质 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 图象过定点(1，0)，即恒有loga1＝0 当x>1时，恒有y>0； 当0<x<1时，恒有y<0 当x>1时，恒有y<0； 当0<x<1时，恒有y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 注意 当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论 四．反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 考点一 对数的运算 【例1】（2024·陕西商洛）求下列各式的值： (1)． (2)； (3) (4)； （5）； 【变式】 （2024·江西景德镇）计算： (1) (2) （3）. (4). (5). (6)． (7) (8) (9) (10). 考点二 对数函数的三要素 【例2-1】（2024上·湖北）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（2024·浙江绍兴·高三统考期末）若函数（，）的图象过点和，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【例2-3】（2024上·贵州毕节）已知函数的定义域和值域都是，则 . 【例2-4】（2024·云南·高三校联考阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2024·云南昆明）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·上海）已知对数函数过点，则其解析式为 ． 3．（2024·北京）函数为对数函数，则 ． 4．（2024上·江西抚州）若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（    ） A．4或 B．4或 C．2或 D．2或 5．（2024上·福建泉州）若函数存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点三 对数函数的单调性 【例3-1】（2024·河北石家庄）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（2024上·湖北）若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例3-3】（2024·山东济宁）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2024上·天津）函数的单调递减区间是 ． 2．（2024·河南）已知，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（2024上·浙江金华）“”是“函数的定义域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4（2024下·重庆·高三重庆八中校考开学考试）已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点四 对数函数的图像 【例4-1】（2024·内蒙古呼伦贝尔）当时，在同一坐标系中，函数与的图像是（    ） A．  B．  C．  D．   【例4-2】（2024上·山东济宁）函数（，且）恒过的定点是 ． 【变式】 1．（2023·河南）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   2．（2023上·山西晋中）已知函数的图象如图所示，则的解析式可以是（   ） A． B． C． D． 3．（2024上·江西上饶）函数（且）图象恒过的定点坐标为 考点五 反函数 【例5-1