考点24指数运算及指数函数专题讲义-2024届新高考艺体生数学一轮复习

考点24指数运算及指数函数 一．根式 (1)根式的概念 ①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． ②a的n次方根的表示：xn＝a⇒ (2)根式的性质 ①()n＝a(n∈N*，且n>1)． ②＝ 二．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 三．指数函数的概念 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．　形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． 四．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域为R，值域为(0，＋∞) 图象过定点(0，1) 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 在定义域R上为增函数 在定义域R上为减函数 注意 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质与a的取值有关，应分a>1与0<a<1来研究 考点一 指数的运算 【例1】（2024·河南漯河）计算． (1)； (2)． （3）计算：; （4）已知，求. 【变式】 （2024·辽宁）（1）计算：. （2） 化简 （3）化简：，其中 （4）求值： (5)； (6). (7)计算：； (8)若，，求的值． (9)计算： (10)计算：已知，则 = 考点二 指数函数的辨析 【例2-1】（2023·宁夏吴忠）给出下列函数，其中为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（2024·天津河西）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 【变式】 1．（2023·陕西西安）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·江西新余）下列函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（2023·江西新余）（多选）若函数是指数函数，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2023北京）（多选）函数是指数函数，则的值不可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 考点三 指数函数的定义域 【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（2024·山东威海）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2024·北京）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·安徽）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·山东滨州）若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点四 指数函数的单调性 【例4-1】（2024·云南昆明）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（2023上·四川成都）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 . 【变式】 1．（2024上·湖南衡阳）函数的递增区间是 ． 2（2024·天津和平）设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·重庆）若函数是上的单调递增函数.则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点五 指数函数的值域 【例5-1】（2023·新疆喀什）的值域是（ ） A． B． C． D． 【例5-2】（2024北京）函数（且）的值域是，则实数（    ） A．3 B． C．3或 D．或 【例5-3】（2024上·天津滨海新）若函数有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2024·北京平谷）函数的定义域为．则其值域为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·上海）函数的值域为 ． 3．（2024上·北京大兴· ）指数函数在区间上最大值与最小值的差为2，则等于 . 4．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆市第七中学校校考阶段练习）函数的值域为 ，单调递增区间为 . 5．（2024上·重庆）已知函数的值域为，