考点23函数的三要素及四种性质专题讲义-2024届新高考艺体生数学一轮复习

考点23 函数的三要素及四种性质 1． 定义域 1.概念：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 2.定义域的求法 （1）具体函数求定义域 已知函数解析式求定义域，一般遵循下面原则，列出不等式组解不等式。 ①分式：分母不为0 ②根式：开偶次方根，被开方数大于等于0 ③对数：对数的真数大于0，底数大于0且不等于1 ④指数：指数的底数大于0且不等于1 ⑤ ⑥正切： ⑦无以上情况定义域为R，实际应用题实际考虑 （2）抽象函数求定义域 未知解析式函数的定义域求解：一般遵循对应法则不变，括号内同范围 1.若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a<g(x)<b即可求出y＝f(g(x))的定义域； 2.若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域 二．已知定义域求参数 1.根据函数的定义域为R，得到不等式恒成立，分和两种情况讨论，结合二次函数图象的特征得到不等关系求得结果. 2.不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是： 当时，；当时，； 不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是 当时，；当时，． 三．求函数解析式 1.待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数； 2.换元法：主要用于解决已知复合函数的表达式求的解析式的问题，令，解出，然后代入中即可求得，从而求得，要注意新元的取值范围； 3.配凑法：配凑法是将右端的代数式配凑成关于的形式，进而求出的解析式； 4.构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题. 三．单调性 （1） 增函数、减函数的定义 1.增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数． 数学符号：：∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数 2.减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数． 数学符号：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． （2） 判断单调性的方法 1.定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论. 2.图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性. 3.导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间. 4.性质法： (三）复合函数的单调性 y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减” 四．单调性的应用 （一）最值 1.定义：设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M． (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值． （二）解不等式 （三）比较大小 五．函数的奇偶性 （一）奇函数、偶函数定义 1.奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数。 奇函数的图像关于原点对称 2.偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 偶函数的图像关于y轴对称 （二）注意事项 1.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件 2.如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． 3.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 六．判断函数奇偶性的3种常用方法 1.定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立． 2.图象法： 3.性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 七．函数的周期性 1.周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． 2.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期． 3.周期性