考点22统计案例与决策问题专题讲义-2024届新高考艺体生数学一轮复习

考点22 统计案例与决策问题 一．两个变量的线性相关 1.正相关：在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． 2.负相关：在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关． 3.线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． 4.判定两个变量正、负相关的方法 (1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关． (2)相关系数：r＞0时，正相关；r＜0时，负相关． (3)线性回归直线方程中：>0时，正相关；<0时，负相关． 二．回归方程 1.最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． 2.回归方程：方程＝x＋是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中，是待定参数．，． 3．回归分析 (1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (2)样本点的中心 对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(，)称为样本点的中心，即回归直线经过点(，)． (3)相关系数 当r＞0时，表明两个变量正相关； 当r＜0时，表明两个变量负相关． r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 三．独立性检验 1.分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量． 2.列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为 2×2列联表 y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 构造一个随机变量，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量． 1．比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法 (1)通过计算K2的大小判断：K2越大，两变量有关联的可能性越大． (2)通过计算|ad－bc|的大小判断：|ad－bc|越大，两变量有关联的可能性越大． 2．独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据制成2×2列联表． (2)根据公式K2＝计算K2的观测值k. (3)比较观测值k与临界值的大小关系，作统计推断． 考点一 线性回归方程 【例1】（2024云南）某种产品2014年到2018年的年投资金额（万元）与年利润（万元）的数据统计如下，由散点图知，与之间的关系可以用线性回归模型拟合，已知5年利润的平均值是4.7． 年份 2014 2015 2016 2017 2018 年投资金额万元 1 2 3 4 5 年利润万元 2.4 2.7 6.4 7.9 (1)求表中实数的值； (2)求关于的线性回归方程． 参考公式：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【变式】 1．（2024北京）在一组样本数据（不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（    ） A． B． C． D．1 2．（2024上·浙江宁波·高三统考期末）（多选）数字经济是继农业经济、工业经济之后的主要经济形态．近年来，在国家的大力推动下，我国数字经济规模增长迅猛，《“十四五”数字经济发展规划》更是将数字经济上升到了国家战略的层面．某地区2023年上半年月份与对应数字经济的生产总值（即GDP）（单位：亿元）如下表所示． 月份 1 2 3 4 5 6 生产总值 30 33 35 38 41 45 根据上表可得到回归方程，则（   ） A． B．与正相关 C．若表示变量与之间的相关系数，则 D．若该地区对数字经济的相关政策保持不变，则该地区7月份的生产总值约为亿元 3．（2023·全国·高三校联考专题练习）某市政府为调查集贸蔬菜市场个体承包摊户年收入情况，随机抽取了6个摊户进行分析，得到样本数据，），其中和分别表示第个摊户和该摊户年收入（单位：万元），如下 1 2 3 4 5 6 5 6 7 7 9 8 (1)请用相关系数判断该组数据中与之间线性相关关系的强弱（若，相关性较强；若，相关性一般；若，相关性较弱）； (2)求关于的线性回归方程； (3)若该集贸蔬菜市场个体承包摊户有300个，根据题设估计该集贸蔬菜市场个体承包摊户年收入总值. 参考公式：相关系数