考点21随机变量与分布列专题讲义-2024届新高考艺体生数学一轮复习

考点21 随机变量及分布列 一．随机变量的有关概念 1.随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示． 2.离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 二．离散型随机变量分布列的概念及性质 1.概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列． 2.分布列的性质 ①pi≥0，i＝1,2,3，…，n； ②pi＝1. 3． 均值与方差 1.均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 2.方差：称D(X)＝[xi－E(X)]2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 3.均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)． 四．两点分布 如果随机变量X的分布列为 X 0 1 P 1－p p 其中0<p<1，则称离散型随机变量X服从两点分布．其中p＝P(X＝1)称为成功概率． 五．超几何分布 1.概念：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布． X 0 1 … m P … 2.特征 （1）超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数 （2）考察对象分两类 （3）已知各类对象的个数 （4）从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.,超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型 六．二项分布 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率． 七．条件概率 1.定义和性质 条件概率的定义 条件概率的性质 设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 (1)0≤P(B|A)≤1； (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) 2.求条件概率的两种方法 (1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝，这是求条件概率的通法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝. 八．事件的相互独立性 1.定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立． 2.性质：①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)． ②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立． 3.求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)首先判断几个事件的发生是否相互独立． (2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有： ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解． ②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算． 九．独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中Ai(i＝1,2，…，n)是第i次试验结果，则 P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)． 十．正态分布 1.正态曲线的特点： ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 2.正态分布的三个常用数据 ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_7； ②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_5； ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_3. 考点一 离散型随机变量分布列及均值与方差 【例1-1】（2024·全国·高三专题练习）设随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P