精品解析：湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高三下学期2月开学考试数学试卷

绝密★启用前 【新结构】2023-2024学年湖南省长沙市第一中学高三年级第二学期 2月份月考数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 函数的图象（ ） A. 关于轴对称 B. 关于原点对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 3. 若集合满足：，若，则，则称集合是一个“偶集合”.已知集合，，那么下列集合中为“偶集合”的是（ ） A B. C. D. 4. 已知数列的前5项分别为1，3，3，5，5，该数列从第5项起成等差数列，且，则该等差数列的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 现有10份不同的食品，其中有2份不合格.每次取出1份进行检测，直到2份不合格的食品全部辨别出为止.若最后1份不合格食品正好在第3次检测时被发现，则前三次不同检测方案的种数为（ ） A. 16 B. 20 C. 28 D. 32 6. 如图所示，已知圆的半径为2，且与正方形ABCD的两条边相切，过作圆的两条切线，切点分别为，，若，则对角线长度为（ ） A. B. C. D. 7 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 三棱锥中，平面，，.，点是面内的动点（不含边界），，则异面直线与所成角的余弦值的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 有两个极值点 B. 的图象关于原点对称 C. 有三个零点 D. 零点之积 10. 在平面直角坐标系中，点，动点，记到轴的距离为.将满足的的轨迹记为，且直线：与交于相异的两点，，则下列结论正确的为（ ） A. 曲线的方程为 B. 直线过定点 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 11. 某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（ ）（若，则） A. B. C. D. 取得最大值时，的估计值为53 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设为复数的共轭复数，若复数满足，则______. 13. 已知为等腰直角三角形，，点为的重心，若以、为双曲线的两顶点，且双曲线过点，则双曲线的离心率为______. 14. 海边近似平直的海岸线上有两处码头、，且.现有一观光艇由出发，同时在处有一小艇出发向观光艇补充物资，其速度为观光艇的两倍，在处成功拦截观光艇，完成补给.若两船都做匀速直线运动，观光艇行驶向海洋的方向任意的情况下，小艇总可以设定合适的出发角度，使得行驶距离最小，则拦截点距离海岸线的最远距离为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线与函数的图象相切. （1）求的值； （2）求函数的极大值. 16. 已知在直角梯形中，，，，，，、分别为线段与的中点，现将四边形沿直线折成一个五面体（如图）. （1）在线段上是否存在点，使平面.若存在，找出点的位置：若不存在，说明理由； （2）若二面角的大小为，求平面与平面所成夹角的余弦值. 17. 新能源渗透率是指在一定时期内，新能源汽车销量占汽车总销量的比重.2023年，随着技术进步，新能源车的渗透率继续扩大.将2023年1月视为第一个月，得到2023年1-10月，我国新能源汽车渗透率如下表： 月份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 渗透率 29 32 34 32 33 34 36 36 36 38 （1）假设自2023年1月起的第个月的新能源渗透率为，试求关于的回归直线方程，并由此预测2024年1月的新能源渗透率： （2）为了鼓励大家购买新能源汽车，国家在2024年继续执行新能源车购置税优惠政策：在2024年6月1日前购买新能源车无需支付