微专题01 共线问题与数量积求解策略（七大题型）-2023-2024学年高一数学常考点微专题提分精练（人教A版2019必修第二册）

微专题01 共线问题与数量积求解策略 【题型归纳目录】 题型一：向量共线定理 题型二：鸡爪定理 题型三：数量积之技巧1:已知两边夹角 题型四：数量积技巧2:一边定长转投影 题型五：数量积技巧3:极化恒等式 题型六：数量积之技巧4:基底法 题型七：数量积之技巧5:坐标法 【方法技巧与总结】 ①定义法：已知两个向量的模长和对应的夹角； ②几何意义：当两个向量共起点，且向量的夹角未知时，可以考虑用数量积的几何意义求解； ③坐标表示法：它可以将复杂的几何问题转换为简单的代数问题，可以用向量的坐标表示求数量积； ④基底法：根据平面向量的基本定理可知，平面内的任意一个向量均可以用两个不共线的向量表示，所以在求解两个向量的数量积时，可以先将未知向量用已知向量表示； ⑤极化恒等式． 【典型例题】 题型一：向量共线定理 【例1】（2024·高一课时练习）已知向量，，中任意两个都不共线，并且与共线，与共线，那么等于（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·全国·高三校联考期末）已知所在平面内的一点满足，则点必在（    ） A．的外面 B．的内部 C．边上 D．边上 【变式1-2】（2024·上海闵行·高一校考期末）是所在平面内一点，，则点必在（    ） A．内部 B．在直线上 C．在直线上 D．在直线上 题型二：鸡爪定理 【例2】（2024·福建泉州·高一校考阶段练习）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点点N与点C不重合，设，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式2-1】（2024·湖北恩施·高二利川市第一中学校联考期末）已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D． 【变式2-2】（2024·河北沧州·高三周测）如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与，两边分别交于，两点，且，，则的最小值为 A． B． C． D． 题型三：数量积之技巧1:已知两边夹角 【例3】已知菱形的边长为，，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·广东梅州·高三校考期末）已知菱形的边长为，， 则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（多选题）（2024·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考阶段练习）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四：数量积技巧2:一边定长转投影 【例4】（2024·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试）已知外接圆的圆心为，若，，则的值是（    ） A．18 B．36 C．72 D．144 【变式4-1】（2024·安徽·高三校联考阶段练习）如图，的外接圆的圆心为O，，，，则的值为（    ）． A． B． C．2 D．3 【变式4-2】已知△ABC外接圆的圆心为O，若AB=3，AC=5，则的值是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 题型五：数量积技巧3:极化恒等式 【例5】（2024·江苏无锡·高三统考阶段练习）已知直角三角形ABC中，，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024·浙江杭州·高一校联考期末）设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点P，恒有.则（    ） A． B． C． D． 题型六：数量积之技巧4:基底法 【例6】（2024·四川成都·高一校联考期末）设四边形ABCD中，有向线段，，．若点M，N分别在BC、CD上，满足，，则=（    ） A．20 B．15 C．9 D．6 【变式6-1】（2024·江苏南通·统考模拟预测）已知菱形的边长为3，，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点.则（    ） A． B． C． D．6 【变式6-2】（2024·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）在△ABC中，已知∠A=90°，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型七：数量积之技巧5:坐标法 【例7】（2024·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期末）如图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点E为边CD上的动点，则的最小值为 ．    【变式7-1】（2024·河南省直辖县级单位·高一统考期末）已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（    ） A．76 B．78 C．80 D．82 【变式7-2】（2024·全国·校联考模拟预测）已知四边形是边长为的菱形，，，分别是，上的点（不含端点），且满足，则的取值范围是