第四单元指数函数与对数函数知识点及常见题型讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四单元 指数函数和对数函数 1.n次方根：一般的若xn=a,那么x叫做a的n次方根。其中，n>1且n为正整数 2.根式的性质 （1） 当n是奇数时：正数的n次方根是一个正数，记作x= 负数的n次方根是一个负数，记作x=- （2）当n是偶数时：正数的n次方根有两个，且互为相反数 （3）负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0 3.比较：( )n 和 ( )n =a ; =a（n为奇数）, =|a|（n为偶数） 例：求下列的值 (1) (2) (a<b) (3) - (4)2×× 4.分数指数幂 1）正数的正分数指数幂的意义为： =(a>0,m,n∈N*,n>1) 2）正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同==（a>0,m,n∈N*,n>1) 3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 性质：=（a>0,r.,s∈Q) = （a>0,r.,s∈Q) 注意：根式化成分数指数幂2.小数化成分数3.底数写成an 4.指数要化正 例1：求值 ( 例2. 计算下列各式 (1) （2)(-6)÷(-3) (2) (3) (4) (-)÷ 例 已知+=3，求下列各式的值（整体代换） (1) ɑ+ (2)a2+a-2 (3) 指数函数的性质 a>1 0<a<1 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 定点 过点(0,1),即x=0时,y=1 函数值变化 当x>0时,y>1 当x<0时,0<y<1 当x>0时,0<y<1 当x<0时,y>1 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 1.指数函数 定义：一般的，形如y=ax的函数。（其中a>0且a≠1） 特征：①定义域必须是R ②自变量x位于指数位置上，且只能有x这一项 ③指数式只有一项，且系数为1 ④底数a的范围是a>0,且a≠1 例：1.下列函数中哪些是指数函数 （1）y=(-8)x （2）2x-1 （3）y=ax （4）y=2×3x 2.若函数y=(3-2a)x 为指数函数，则实数a的取值范围是 3.已知函数f(x)为指数函数，且f(-)=,则f(-2)= 2.指数函数定义域和值域求法 (1)对于y＝af(x)这类函数， ①定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围． ②值域问题，应分以下两步求解：ⅰ由定义域求出u＝f(x)的值域； ⅱ利用指数函数y＝au的单调性或利用图像求得此函数的值域． (2)对于y＝(ax)2＋b·ax＋c这类函数， ①定义域是R. ②值域可以分以下两步求解：ⅰ设t＝ax，求出t的范围； ⅱ利用二次函数y＝t2＋bt＋c的配方法求函数的值域． 求下列函数的定义域、值域： (1)y＝ (2)y＝ （3）y＝4x＋2x＋1＋1 (4)y＝( 3.指数函数的底数与图像的关系 当a>1，离y轴越近越大。 当0<a<1，离y轴越近越小 若a>1,-1<b<0，则函数y=ax+b的图像一定在（ ） A第一、二、三象限 B 第一、三、四象限C 第二、三、四象限 D 第一、二、四象限 4.指数比大小 (1)对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断． (2)底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数的图象的变化规律来判断． (3)对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，可通过中间值来比较． (4)若底数a的范围不确定，常分a>1与0<a<1两类分别求解． 例:比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5； (3)0.30.4和0.20.4 (4)1.50.3和0.81.2 5.指数函数过定点问题(0,1) 函数y＝a2x＋1＋2(a>0且a≠1)的图象必过定点____． (1)函数y＝a3x－1－3(a>0且a≠1)的图象必过定点 . (2)函数f(x)＝ax2＋2x－3＋m(a>1)的图象恒过点(1,10)，则m＝ . 6.解指数不等式 1形如ax>ay的不等式，借助y＝axa>0，且a≠1的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论； 2形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝axa>0，且a≠1的单