1.2 直角三角形 导学课件 2023--2024学年北师大版八年级数学下册

1.2 直角三角形 第一章 三角形的证明 逐点 学练 本节小结 作业提升 本节要点 1 学习流程 2 直角三角形角的性质定理与判定定理 勾股定理 勾股定理的逆定理 互逆命题和互逆定理 “斜边、直角边”(“HL”)定理 学习目标 知识点 直角三角形角的性质定理与判定定理 1 1. 直角三角形角的性质定理 直角三角形的两个锐角互余. 几何语言：在△ ABC 中， ∵∠ C=90°， ∴∠ A+ ∠ B=90°. 感悟新知 2. 直角三角形角的判定定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. 几何语言：在△ ABC 中， ∵∠ A+ ∠ B=90°， ∴∠ C=90°，即△ ABC 为直角三角形. 感悟新知 特别解读 ♦直角三角形角的性质定理和判定定理的理论依据是三角形内角和定理. ♦在直角三角形中，若已知两个锐角之间的关系，可结合两个锐角互余求出每个锐角的大小，不需要再利用三角形内角和定理求解. 感悟新知 例 1 如图1-2-1，AB，CD 相交于点O，AC ⊥ CD 于点C. 若∠ BOD=35°，则∠ A=________. 55° 感悟新知 解题秘方：根据直角三角形中两锐角之间的数量关系求出角的度数. 解：∵∠ BOD=35° ，∴∠ AOC=35°. 又∵ AC ⊥ CD， ∴∠ ACD=90°. ∴ ∠ A=90°－∠ AOC=90°－35°= 55°. 感悟新知 1-1. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，则另一个锐角的度数是( ) A. 25° B. 55° C. 65° D. 75° C 感悟新知 如图1-2-2，在△ ABC 中，∠ ACB=90°，∠ ACD= ∠ B. 求证：CD ⊥ AB. 例2 感悟新知 解题秘方：利用直角三角形的性质定理与判定定理求出CD，AB 的夹角为直角 证明：∵∠ ACB=90°，∴∠ A+ ∠ B=90°. ∵∠ ACD= ∠ B，∴∠ A+ ∠ ACD=90°. ∴∠ CDA=90°. ∴ CD ⊥ AB. 感悟新知 2-1. 如图，∠ C=90°，∠1= ∠2，△ ADE 是直角三角形吗？为什么？ 感悟新知 解：△ADE是直角三角形，理由： ∵∠C＝90°，∴∠A＋∠2＝90°. ∵∠1＝∠2，∴∠A＋∠1＝90°， ∴∠ADE＝90°，∴△ADE是直角三角形． 感悟新知 知识点 勾股定理 2 1. 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 数学表达式： 如图1-2-3， 在Rt △ ABC中， ∠ C=90°，AB=c，AC=b，BC=a， 则a2+b2=c2. 2. 勾股定理的变形公式 a2=c2－b2；b2=c2－a2. 感悟新知 特别提醒 ♦勾股定理揭示的是直角三角形的三边的平方关系，只有在直角三角形中才可以使用勾股定理. ♦利用勾股定理，已知其中任意两边可以求出第三边. 感悟新知 3. 基本思想方法 勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范. 感悟新知 如图1-2-4，在Rt △ ABC 中，∠ ACB=90 °，AC= 3，BC=4，CD ⊥ AB，垂足为D，求CD 的长. 解题秘方：紧扣“同一三角形的面积的两种表示法”求解. 例 3 感悟新知 解：∵∠ ACB=90°，AC=3，BC=4， ∴ AB= = =5. ∵ CD ⊥ AB，∴ S△ ABC=AB·CD=AC·BC. ∴ AB·CD=AC·BC. ∴ CD= = =. 感悟新知 3-1. 如图， 在△ ABC中，∠ A=30°，∠ B=45°，AC=2，求AB，BC 的长. 感悟新知 解：过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中， ∵∠ADC＝90°，∠A＝30°，AC＝2， 感悟新知 如图1-2-5，在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，AM 是中线，MN ⊥ AB，垂足为N. 求证：AN2－BN2=AC2. 解题秘方：将要证明的线段归结到不同的直角三角形中，结合勾股定理证明. 例4 感悟新知 证明：∵ MN ⊥ AB， ∴在Rt △ AMN 中，AN2+MN2=AM2， 在Rt △ BMN 中，BN2+MN2=MB2. ∴ AM2－AN2=MB2－BN2，即AM2－MB2=AN2－BN2. 在Rt △ AMC 中，∵∠ C=90°，∴ AM2－MC2=AC2. 又∵ AM 是中线，∴ MC=MB. ∴ AM2－MB2=AC2. ∴ AN2－BN2=AC2. 感悟新知 4-1. 如图，在Rt △ ABC中，∠ A=90°，D 为斜边BC 的中点，DE ⊥DF，求证：EF2=BE2+CF2. 感悟新知 感悟新知 感悟新知 知识点 勾股定理的逆定理 3 1. 勾股定理的逆